Question

如圖所示，甲、乙兩光滑圓軌道放置在同一豎直平面內(nèi)，甲軌道半徑是R且為乙軌道半徑的2倍，兩軌道之間由一光滑水平軌道CD相連，在水平軌道CD上有一輕彈簧被 a、b兩個小球夾住，但不拴接．如果a、b兩個小球的質(zhì)量均為m，同時釋放兩小球，且要求a、b都能通過各自的最高點，則彈簧在釋放前至少具有多大的彈性勢能？

Answer 1

分析：由題意，同時釋放兩小球，a、b都能通過各自的最高點，在最高點都由重力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律可求出兩球到達(dá)最高點時的速度．兩球釋放后到到達(dá)圓環(huán)最高點的過程，遵守動量守恒．釋放彈簧的過程，系統(tǒng)的動量守恒．由動量守恒定律和機械能守恒定律結(jié)合求解．

解答：解：當(dāng)a球恰能通過最高點時，b球一定通過最高點，此時彈簧在釋放前具有的彈性勢能最小，設(shè)a球到達(dá)圓軌道最高點的速度為v_a，對于a球有：
mag=ma

v 2 a

R

…①
設(shè)a球被彈簧彈開瞬間的速度為v'_a，對于a球由機械能守恒定律可得：

1

2

mav

′

2 a

=

1

2

ma

v

2 a

+mag2R… ②
設(shè)b球被彈簧彈開瞬間的速度為v'_b，由于a、b兩球被彈開時系統(tǒng)動量守恒：mav'_a=m_bv'_b …③
①②③可得：v′a=v′b=

5gR

… ④
以a、b兩小球以及彈簧組成的系統(tǒng)為研究對象，整個過程中由系統(tǒng)機械能守恒可得：Eq=

1

2

mav

′

2 a

+

1

2

mbv

′

2 b

… ⑤
由④⑤得彈性勢能最小值為：Ep=5mgR 
答：彈簧在釋放前至少具有5mgR的彈性勢能．

點評：解決該題關(guān)鍵能判斷出小球能通過最高點的條件，然后根據(jù)動量守恒定律和機械能守恒定律聯(lián)立列式求解．