Question

13．宇航員站在一個(gè)星球表面的某高處，以水平初速度拋出一個(gè)小球．經(jīng)過(guò)時(shí)間t，小球落到星球表面，測(cè)得拋出點(diǎn)與落地點(diǎn)的距離為L(zhǎng)，與地面的夾角為θ，已知該星球的半徑為R，萬(wàn)有引力常數(shù)為G，若發(fā)射一顆在該星球表面附近繞該星球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星，求這顆衛(wèi)星的速度．

Answer 1

分析 根據(jù)幾何關(guān)系求出平拋運(yùn)動(dòng)下落的高度，根據(jù)豎直方向做自由落體運(yùn)動(dòng)求出重力加速度大小，根據(jù)萬(wàn)有引力等于重力提供向心力求出這顆衛(wèi)星的速度．

解答 解：根據(jù)幾何關(guān)系可得：$\sqrt{{x}^{2}+{h}^{2}}=L$，$tanθ=\frac{h}{x}$，
解得：h=$Ltanθ\sqrt{\frac{1}{tanθ+1}}$
物體做平拋運(yùn)動(dòng)時(shí)，h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$，
解得：g=$\frac{2Ltanθ\sqrt{\frac{1}{tanθ+1}}}{{t}^{2}}$
在地球表面萬(wàn)有引力等于重力，根據(jù)重力提供向心力，則有
m$\frac{{v}^{2}}{R}=mg$
解得：v=$\sqrt{\frac{2RLtanθ\sqrt{\frac{1}{tanθ+1}}}{{t}^{2}}}$
答：這顆衛(wèi)星的速度為$\sqrt{\frac{2RLtanθ\sqrt{\frac{1}{tanθ+1}}}{{t}^{2}}}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵掌握萬(wàn)有引力等于重力、萬(wàn)有引力提供向心力這兩個(gè)重要理論，并能靈活運(yùn)用，并能結(jié)合幾何求解，難度適中．