Question

在地面上方足夠高的地方，存在一個高度d=0.5m的“相互作用區(qū)域”（下圖中畫有虛線的部分）．一個小圓環(huán)A套在一根均勻直桿B上，A和B的質(zhì)量均為m，若它們之間發(fā)生相對滑動時，會產(chǎn)生f=0.5mg的摩擦力．開始時A處于B的最下端，B豎直放置，A距“相互作用區(qū)域”的高度h=0.8m．讓A和B一起從靜止開始下落，只要A處于“相互作用區(qū)域”就會受到豎直向上、大小F=3mg的恒力作用，而“相互作用區(qū)域”對處于其中的桿B不產(chǎn)生作用力．桿B在下落過程中始終保持豎直，且桿的長度能夠保證圓環(huán)A與桿不會分離．不計空氣阻力，取g=10m/s²．求：
（1）桿B的最下端剛進(jìn)人“相互作用區(qū)域”時的速度；
（2）圓環(huán)A通過“相互作用區(qū)域”所用的時間；
（3）為保證圓環(huán)A在空中運(yùn)動過程中始終與桿不會分離，桿的最小長度．

Answer 1

（1）設(shè)A和B一體靜止下落至“相互作用區(qū)域”的速度為v₁，則v12=2gh
代入數(shù)據(jù)得  v₁=4.0m/s        
（2）A在“相互作用區(qū)域”運(yùn)動時，A受到重力mg、滑動摩擦力f和豎上向上的恒力F作用，設(shè)加速度a_A、運(yùn)動時間為t，根據(jù)牛頓第二定律有mg+f-F=ma_A
代入數(shù)據(jù)得  a_A=-15m/s²
由位移公式有  d=v1t+

1

2

aAt2
代入數(shù)據(jù)解得  t=0.2s   t′=0.33s（不符題意，舍去）  
（3）設(shè)B在“相互作用區(qū)域”運(yùn)動的加速度為a_B，A剛離開“相互作用區(qū)域”時，圓環(huán)A和直桿B的速度分別為v_A和v_B，則：mg-f=ma_B，v_B=v₀+a_Bt，v_A=v₁+a_At  
代入數(shù)據(jù)解得 v_A=1m/s，v_B=5m/s
此過程二者相對滑動的距離 s1=v1t+

1

2

aBt2-d
代入數(shù)據(jù)解得  s₁=0.4m
設(shè)A離開“相到作用區(qū)域”后二者相對滑動過程的時間為t′，A的加速度為a'_A，則
a′A=

mg+f

m

v_A+a'_At′=v_B+a_Bt′
二者相對滑動的距離 s2=vBt′+

1

2

aBt′2-(vAt′+

1

2

a′At′2)
代入數(shù)據(jù)解得  t′=0.4s，s₂=0.8m
則桿的最小長度 s=s₁+s₂=1.2m
答：（1）桿B的最下端剛進(jìn)人“相互作用區(qū)域”時的速度為4.0m/s；
（2）圓環(huán)A通過“相互作用區(qū)域”所用的時間為0.2s；
（3）為保證圓環(huán)A在空中運(yùn)動過程中始終與桿不會分離，桿的最小長度為1.2m．