Question

（2013?南通一模）某農(nóng)田自動(dòng)灌溉的噴射裝置的截面圖如圖所示，它主要由水泵、豎直的細(xì)輸水管道和噴頭組成，噴頭的噴嘴（長(zhǎng)度可忽略不計(jì)）離地面的高度為h．水泵啟動(dòng)后，水從水池通過輸水管道壓到噴嘴并沿水平方向噴出，在地面上的落點(diǎn)與輸水管道中心的水平距離為R，此時(shí)噴嘴每秒鐘噴出水的質(zhì)量為m₀，整個(gè)供水系統(tǒng)的效率恒為η，忽略水池中水泵與地面的高度差，不計(jì)水進(jìn)入水泵時(shí)的速度以及空氣阻力，重力加速度為g．
（1）求水從噴嘴噴出時(shí)的速率v；
（2）求水泵的功率P；
（3）若要澆灌離輸水管道中心R₁處的蔬菜，求噴嘴每秒鐘噴出水的質(zhì)量m₁和水泵的功率P₁．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)在水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，在豎直方向上做自由落體運(yùn)動(dòng)，求出水從噴嘴噴出時(shí)的速率．
（2）水泵所做的功與效率的乘積等于水動(dòng)能和重力勢(shì)能的增加，根據(jù)能量守恒求出水泵的功率P．
（3）根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求出平拋運(yùn)動(dòng)的初速度，從而通過密度公式，求出單位時(shí)間內(nèi)噴出水的質(zhì)量．根據(jù)能量守恒求出水泵的功率P₁．

解答：解：（1）水從噴嘴噴出后作平拋運(yùn)動(dòng)，則
R=vt，h=

1

2

gt2
解得 v=R

g 2h

（2）設(shè)在△t時(shí)間內(nèi)出水質(zhì)量為m，由功能關(guān)系有ηP△t=

1

2

mv2+mgh
且有  m0=

m

△t

解得  P=

m0g(R2+4h2)

4hη

（3）設(shè)水的密度為ρ，速度為v₁，噴嘴的橫截面積為S，則m₀=ρSv，m₁=ρSv₁
由平拋運(yùn)動(dòng)有 R₁=v₁t，h=

1

2

gt2
解得  m1=

R1

R

m0
由   ηP1△t=

1

2

m

v

2 1

+mgh
解得  P1=

m0gR1( R 2 1 +4h2)

4hRη

答：（1）水從噴嘴噴出時(shí)的速率v=R

g 2h

．
（2）水泵的功率P=

m0g(R2+4h2)

4hη

．
（3）噴嘴每秒鐘噴出水的質(zhì)量m1=

R1

R

m0，水泵的功率P1=

m0gR1( R 2 1 +4h2)

4hRη

．

點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵知道平拋運(yùn)動(dòng)在水平方向和豎直方向上的運(yùn)動(dòng)規(guī)律．以及能夠靈活運(yùn)用能量守恒定律進(jìn)行求解．