Question

19．如圖（甲）所示，A和B是長為L，間距為d的平行金屬板，靶MN垂直固定在它們的右端．在A，B板上加上方形波電壓，如圖（乙）所示．前半周期電壓的正向值為U₀，后半周期電壓反向值為$\frac{U_0}{2}$，周期為T．現(xiàn)有質(zhì)量為m，帶電量為+q的粒子連續(xù)從AB左端連線的中點O以平行于金屬板的方向射入．設(shè)所有粒子都能穿過電場打到靶上，而且每個粒子在AB間的飛行時間均為T，不計粒子重力的影響．試問：

（1）粒子射入平行金屬板時的速度多大？
（2）t=$\frac{T}{2}$時刻入射的粒子打到靶上的位置距靶中心點O′多遠(yuǎn)？

Answer 1

分析 （1）粒子在電場中受到豎直向下的電場力，水平方向不受力而做勻速直線運(yùn)動，由T=$\frac{L}{v}$可求速度；
（2）入射的粒子打到靶上的位置距靶中心點O′多遠(yuǎn)與粒子豎直方向的分位移有關(guān)．分析粒子在豎直方向的運(yùn)動：$\frac{T}{2}$～T時間內(nèi)，粒子向上作初速為零的勻加速運(yùn)動，在T～$\frac{3}{2}T$時間內(nèi)，由于此時的加速度大小a′=2a，所以粒子先向上減速后向下加速，根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動學(xué)公式結(jié)合求豎直方向的總位移，即可確定粒子打到靶上的位置；

解答 解：（1）粒子在水平方向粒子作勻速直線運(yùn)動，則有：v₀=$\frac{L}{T}$
（2）在豎直方向，從$\frac{T}{2}$～T時間內(nèi)，粒子向上作初速為零的勻加速運(yùn)動，有
a=$\frac{q\frac{{U}_{0}}{2}}{md}=\frac{q{U}_{0}}{2md}$
則粒子豎直方向上的位移 s₁=$\frac{1}{2}a（\frac{T}{2}）^{2}=\frac{q{U}_{0}{T}^{2}}{16md}$
粒子在T～$\frac{3}{2}T$時間內(nèi)，由于此時的加速度大小a′=2a，所以粒子先向上減速后向下加速，此階段豎直方向的位移s₂=0．
綜上所述，有豎直方向上總位移 s_總=s₁+s₂=$\frac{q{U}_{0}{T}^{2}}{16md}$
答：（1）粒子射入平行金屬板時的速度為$\frac{L}{T}$；
（2）t=$\frac{T}{2}$時刻入射的粒子打到靶上的位置距靶中心點O′的距離為$\frac{q{U}_{0}{T}^{2}}{16md}$．

點評 本題是粒子在周期性變化的電場中運(yùn)動，分析帶電粒子的運(yùn)動情況是關(guān)鍵，并能運(yùn)用牛頓第二定律和運(yùn)動學(xué)結(jié)合進(jìn)行求解．