Question

3．2014年9月8日，我國在太原衛(wèi)星發(fā)射中心用長征四號乙運(yùn)載火箭，成功將“遙感衛(wèi)星21號”發(fā)射升空，衛(wèi)星順利進(jìn)入預(yù)定軌道，假設(shè)“遙感衛(wèi)星21號”在飛行的過程中繞地球圓軌道運(yùn)行，已知地球的半徑為R，地球表面的重力加速度為g，“遙感21號”繞地球運(yùn)行的周期為T，如圖所示衛(wèi)星A與“遙感衛(wèi)星21號”B在同一軌道平面，已知衛(wèi)星A的運(yùn)行方向與與“遙感衛(wèi)星21號”B相同，衛(wèi)星A的軌道半徑為“遙感衛(wèi)星21號”B的2倍，求：
（1）“遙感衛(wèi)星21號”B離地面的高度h；
（2）某時(shí)刻“遙感衛(wèi)星21號”B與衛(wèi)星A相距最近，則至少經(jīng)過多長時(shí)間它們再一次相距最近．

Answer 1

分析 衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)時(shí)萬有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力，列出等式求解；
某時(shí)刻兩衛(wèi)星正好同時(shí)通過地面上同一點(diǎn)的正上方，當(dāng)兩顆衛(wèi)星轉(zhuǎn)動(dòng)角度相差2π時(shí)，即A比B多轉(zhuǎn)一圈，相距最近．

解答 解：（1）在地球表面萬有引力等于重力有：
$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=mg
衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)時(shí)萬有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力，
$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{4π}^{2}r}{{T}^{2}}$
r=R+h
h=$\root{3}{\frac{{{gR}^{2}T}^{2}}{{4π}^{2}}}$-R
（2）根據(jù)萬有引力提供向心力
$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{4π}^{2}r}{{T}^{2}}$得：
T=2π$\sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$，
所以T_A=2$\sqrt{2}$T
至少經(jīng)過時(shí)間t它們再一次相距最近，此時(shí)A比B多轉(zhuǎn)一圈，
即 $\frac{t}{T}$-$\frac{t}{{T}_{A}}$=1
解得：t=$\frac{8-2\sqrt{2}}{7}$T
答：（1）“遙感衛(wèi)星21號”B離地面的高度是$\root{3}{\frac{{{gR}^{2}T}^{2}}{{4π}^{2}}}$-R；
（2）某時(shí)刻“遙感衛(wèi)星21號”B與衛(wèi)星A相距最近，則至少經(jīng)過$\frac{8-2\sqrt{2}}{7}$T它們再一次相距最近．

點(diǎn)評 衛(wèi)星問題，要建立物理模型，本題關(guān)鍵是根據(jù)萬有引力等于向心力和萬有引力等于重力列出等式求解．兩衛(wèi)星何時(shí)相距最遠(yuǎn)的求解，用到的數(shù)學(xué)變換相對較多，增加了本題難度．