Question

2．如圖所示，在x軸下方的區(qū)域內(nèi)存在+y方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度為E．在x軸上方以原點(diǎn)O為圓心、半徑為R的半圓形區(qū)域內(nèi)存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)的方向垂直于xoy平面向外，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B．-y軸上的A點(diǎn)與O點(diǎn)的距離為d，一個(gè)質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子從A點(diǎn)由靜止釋放，經(jīng)電場(chǎng)加速后從O點(diǎn)射入磁場(chǎng)，不計(jì)粒子的重力．
（1）求粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑r；
（2）要使粒子進(jìn)人磁場(chǎng)之后不再經(jīng)過(guò)x軸，求電場(chǎng)強(qiáng)度的取值范圍；
（3）改變電場(chǎng)強(qiáng)度，使得粒子經(jīng)過(guò)x軸時(shí)與x軸成θ=30⁰的夾角，求此時(shí)粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t及經(jīng)過(guò)x軸的位置坐標(biāo)值x₀．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)動(dòng)能定理求得經(jīng)電場(chǎng)加速后粒子的速度，再根據(jù)洛倫茲力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力求得粒子圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑；
（2）粒子進(jìn)入磁場(chǎng)做圓周運(yùn)動(dòng)，要使粒子不再經(jīng)過(guò)x軸，則粒子離開磁場(chǎng)時(shí)速度方向與x軸平行，由比計(jì)算分析求解電場(chǎng)強(qiáng)度的取值范圍；
（3）根據(jù)幾何關(guān)系求得粒子在磁場(chǎng)中圓周運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角，再根據(jù)周期求得在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，由幾何關(guān)系求得粒子經(jīng)過(guò)x軸的位置坐標(biāo)．

解答 解：（1）粒子在電場(chǎng)中加速，由動(dòng)能定理得：$qEd=\frac{1}{2}m{v}^{2}$  ①
粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后做圓周運(yùn)動(dòng)，有：$qvB=m\frac{{v}^{2}}{r}$  ②
解得粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑：r=$\frac{\sqrt{2mqEd}}{qB}$ ③
（2）設(shè)場(chǎng)強(qiáng)為E₀時(shí)，粒子離開磁場(chǎng)后恰好不再經(jīng)過(guò)x軸，則離開磁
場(chǎng)時(shí)的速度方向與x軸平行，運(yùn)動(dòng)情況如圖（甲），易得：

$R=\sqrt{2}r$          ④
由③、④式解得：${E}_{0}=\frac{q{B}^{2}{R}^{2}}{4md}$            
因此，場(chǎng)強(qiáng)的范圍：E≥E₀
即：$E≥\frac{q{B}^{2}{R}^{2}}{4md}$     ⑥
（3）粒子運(yùn)動(dòng)情況如圖（乙），由幾何關(guān)系可得：
α=120°                 ⑦
粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)周期為：$T=\frac{2πr}{v}$     ⑧
粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)周期為：t=$\frac{α}{360°}T$    ⑨
聯(lián)立②⑥⑦⑧可得：t=$\frac{2πm}{3qB}$             ⑩
由圖可得粒子經(jīng)過(guò)x軸時(shí)的位置橫坐標(biāo)值為：x₀=2Rcos30°=$\sqrt{3}R$
答：（1）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑r為$\frac{\sqrt{2mqEd}}{qB}$；
（2）要使粒子進(jìn)人磁場(chǎng)之后不再經(jīng)過(guò)x軸，電場(chǎng)強(qiáng)度的取值范圍為$E≥\frac{q{B}^{2}{R}^{2}}{4md}$；
（3）改變電場(chǎng)強(qiáng)度，使得粒子經(jīng)過(guò)x軸時(shí)與x軸成θ=30⁰的夾角，此時(shí)粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t為$\frac{2πm}{3qB}$及經(jīng)過(guò)x軸的位置坐標(biāo)值x₀為$\sqrt{3}R$．

點(diǎn)評(píng) 帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)主要從洛倫茲力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力分析，根據(jù)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的幾何關(guān)系確定半徑情況．