Question

如圖為某種魚餌自動(dòng)投放器中的投餌管裝置示意圖，其下半部AB是一長為y（y可調(diào)且y≥R）的豎直細(xì)管，上半部BC是半徑為R的四分之一圓弧彎管，管口沿水平方向，AB管內(nèi)有一原長為R、下端固定的輕質(zhì)彈簧．投餌時(shí)，每次總將彈簧長度壓縮到0.5R后鎖定，在彈簧上段放置一粒魚餌，解除鎖定，彈簧可將魚餌彈射出去．當(dāng)y=2R，則質(zhì)量為m的魚餌到達(dá)管口C時(shí)，對管壁的作用力恰好為零．不計(jì)魚餌在運(yùn)動(dòng)過程中的機(jī)械能損失，且鎖定和解除鎖定時(shí)，均不改變彈簧的彈性勢能．已知重力加速度為g．求：
（1）質(zhì)量為m的魚餌到達(dá)管口C時(shí)的速度大小v₁；
（2）彈簧壓縮到0.5R時(shí)的彈性勢能E_p；
（3）已知地面與水面相距0.25R，當(dāng)y為何值時(shí)，魚餌在水面的落點(diǎn)與C點(diǎn)的水平距離最大．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)牛頓第二定律，抓住在C點(diǎn)作用力為零，求出魚餌在C點(diǎn)的速度大小．
（2）不計(jì)魚餌在運(yùn)動(dòng)過程中的機(jī)械能損失，所以魚餌增加的機(jī)械能都是彈簧做功的結(jié)果，由功能關(guān)系知道彈簧具有的彈性勢能等于魚餌增加的機(jī)械能．
（3）y越大，魚餌到達(dá)C點(diǎn)的速度越小，做平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間越長，y越小，魚餌到達(dá)C點(diǎn)的速度越大，但是平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間越短，根據(jù)能量守恒結(jié)合平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求出水平距離表達(dá)式，結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)求出y為何值，魚餌在水面的落點(diǎn)與C點(diǎn)的水平距離最大．

解答：解：（1）由題意知，質(zhì)量為m的魚鉺到達(dá)管口C時(shí)做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力完全由重力提供，則：
mg=m

v2

R

…①
由①式解得：v=

gR

．
（2）彈簧的彈性勢能全部轉(zhuǎn)化為魚鉺的機(jī)械能，由機(jī)械能守恒定律得：
Ep=mg（1.5R+R）+

1

2

mv2…③
由②③兩式解得：E_p=3mgR
（3）根據(jù)能量守恒得，Ep=mg(y-0.5R+R)+

1

2

mv′2
y+R+0.25R=

1

2

gt2
x=v′t
聯(lián)立三式解得x=

5gR-2gy

?

2y+2.5R g

=

(5R-2y)(2y+2.5R)

=

-(2y- 5R 4 )2+14.0625R

y=

5R

8

時(shí)，魚餌在水面的落點(diǎn)與C點(diǎn)的水平距離最大．
答：（1）質(zhì)量為m的魚餌到達(dá)管口C時(shí)的速度大小為

gR

．
（2）彈簧壓縮到0.5R時(shí)的彈性勢能為3mg．
（3）當(dāng)y=

5R

8

時(shí)，魚餌在水面的落點(diǎn)與C點(diǎn)的水平距離最大．

點(diǎn)評：本題考查了圓周運(yùn)動(dòng)最高點(diǎn)的動(dòng)力學(xué)方程以及機(jī)械能守恒定律的應(yīng)用，難度適中．