Question

如圖所示，ACB為光滑圓弧軌道其半徑為R，O為其圓心，OD為水平臺(tái)面．AF為光滑水平面且與圓弧ACB光滑連接．已知：在DFAO區(qū)域存在水平向左的勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)大小為E₁，AOB右側(cè)空間存在水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)大小為E₂，且E₁=E₂．在AE水平面上有一個(gè)質(zhì)量為m，電荷量為q的帶負(fù)電小球（可看作質(zhì)點(diǎn)）．若其重力mg=qE₁ 問
（1）至少從距離A點(diǎn)多遠(yuǎn)處無初速度釋放該小球才能使其通過B點(diǎn)．（2）通過B點(diǎn)后落在水平面OD上距O點(diǎn)的距離在什么范圍內(nèi)．

Answer 1

分析：（1）要使小球到達(dá)B點(diǎn)，必須使小球通過AB上速度最小的點(diǎn)．由于mg=qE₂，小球在圓弧軌道的等效最高點(diǎn)在OB右偏45°的H點(diǎn)上．在H點(diǎn)，由重力和電場(chǎng)力的合力恰好提供小球的向心力，由牛頓第二定律求得H點(diǎn)的速度，從小球釋放到H點(diǎn)，再應(yīng)用動(dòng)能定理列式求解．
（2）從釋放到B點(diǎn)的過程，運(yùn)用動(dòng)能定理列式求出小球到達(dá)B點(diǎn)的最小速度．小球離開B點(diǎn)做平拋運(yùn)動(dòng)，由平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求范圍．

解答：解：（1）設(shè)至少從距離A點(diǎn)x₁處無初速度釋放該小球才能使其通過B點(diǎn)．
帶電小球要通過B點(diǎn)，根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)規(guī)律，小球在圓弧軌道的等效最高點(diǎn)在OB右偏45°的H點(diǎn)上．從小球釋放到H點(diǎn)，由動(dòng)能定理得：
      qE₁x₁-qE₂

2

2

R-mg（1+

2

2

）R=

1

2

mv2
 在H點(diǎn)，有

2

mg=m

v2

R

又題意，mg=qE₁=qE₂．
聯(lián)立以上三式得：x₁=（1+

3 2

2

）R
（1）小球通過B點(diǎn)的速度為v_B．由釋放到B點(diǎn)，由動(dòng)能定理得：
  qE₁x₁-mg2R=

1

2

m

v

2 B

  又mg=qE₁．
解得，v_B=

2(3 2 -2)gR

小球離開B點(diǎn)做平拋運(yùn)動(dòng)，由平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律得：
   R=

1

2

gt2
   x₂=v_Bt
解得，x₂=

2(3 2 -2)

R
即通過B點(diǎn)后落在水平面OD上距O點(diǎn)的距離為x₂≥

2(3 2 -2)

R．
答：
（1）至少從距離A點(diǎn)（1+

3 2

2

）R處無初速度釋放該小球才能使其通過B點(diǎn)．
（2）通過B點(diǎn)后落在水平面OD上距O點(diǎn)的距離為x₂≥

2(3 2 -2)

R．

點(diǎn)評(píng)：本題是動(dòng)能定理與圓周運(yùn)動(dòng)臨界條件、平拋運(yùn)動(dòng)的綜合應(yīng)用，關(guān)鍵是找到物理上的“最高點(diǎn)”H．