Question

（2004?南京三模）如圖甲所示，A、B是一對(duì)平行放置的金屬板，中心各有一個(gè)小孔P、Q，PQ連線垂直金屬板，兩板間距為d．現(xiàn)從P點(diǎn)處連續(xù)不斷地有質(zhì)量為 m、帶電量為+q的帶電粒子（重力不計(jì)），沿PQ方向放出，粒子的初速度可忽略不計(jì)．在t=0時(shí)刻開(kāi)始在A、B間加上如圖乙所示交變電壓（A板電勢(shì)高于B板電勢(shì)時(shí)，電壓為正），其電壓大小為U、周期為T．帶電粒子在A、B間運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，粒子間相互作用力可忽略不計(jì)．

（1）如果只有在每個(gè)周期的0～

T

4

時(shí)間內(nèi)放出的帶電粒子才能從小孔Q中射出，則上述物理量之間應(yīng)滿足怎樣的關(guān)系．
（2）如果各物理量滿足（1）中的關(guān)系，求每個(gè)周期內(nèi)從小孔Q中有粒子射出的時(shí)間與周期T的比值．

Answer 1

分析：（1）通過(guò)分析每個(gè)周期內(nèi)帶電粒子的運(yùn)動(dòng)情況，確定只有在每個(gè)周期的0～

T

4

時(shí)間內(nèi)放出的帶電粒子才能從小孔Q中射出時(shí)應(yīng)滿足的條件，根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解各物理量之間應(yīng)滿足的關(guān)系．
（2）t=0時(shí)刻進(jìn)入電場(chǎng)的粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為最短，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出最短時(shí)間．

解答：解：（1）在0→

T

4

時(shí)間內(nèi)，進(jìn)入A、B板間的粒子，在電場(chǎng)力的作用下，先向右做勻加速運(yùn)動(dòng)，在

T

2

→T時(shí)間內(nèi)再向右做勻減速運(yùn)動(dòng)，且在0→

T

4

時(shí)間內(nèi)，越遲進(jìn)入A、B板間的粒子，其加速過(guò)程越短，減速運(yùn)動(dòng)過(guò)程也相應(yīng)地縮短，當(dāng)速度為零后，粒子會(huì)反向向左加速運(yùn)動(dòng)．由題意可知0→

T

4

時(shí)間內(nèi)放出的粒子進(jìn)入A、B板間，均能從Q孔射出，也就是說(shuō)在

T

4

時(shí)刻進(jìn)入A、B板間的粒子是能射出Q孔的臨界狀態(tài)．
粒子在

T

4

時(shí)刻進(jìn)入A、B間電場(chǎng)時(shí)，先加速，后減速，由于粒子剛好離開(kāi)電場(chǎng)，說(shuō)明它離開(kāi)電場(chǎng)的速度為零，由于加速和減速的對(duì)稱性，故粒子的總位移為加速時(shí)位移的2倍，所以有
   d=2×

1

2

a(

T

4

)2=

qUT2

16md

即   d2=

qUT2

16m

①
（2）若情形（1）中的關(guān)系式①成立，則t=0時(shí)刻進(jìn)入電場(chǎng)的粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為最短（因只有加速過(guò)程），設(shè)最短時(shí)間為t_x，則有
   d=

1

2

a

t

2 x

②
在t=

T

4

時(shí)刻進(jìn)入電場(chǎng)的粒子在t=

3T

4

的時(shí)刻射出電場(chǎng)，所以有粒子飛出電場(chǎng)的時(shí)間為 △t=

3T

4

-tx ③
由②③式得  

△t

T

=

3- 2

4

④
答：
（1）各物理量之間應(yīng)滿足的關(guān)系是即d2=

qUT2

16m

．
（2）每個(gè)周期內(nèi)從小孔Q中有粒子射出的時(shí)間與周期T的比值是

3- 2

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題關(guān)鍵是分析帶電粒子的運(yùn)動(dòng)情況，確定出臨界條件，運(yùn)用牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律結(jié)合進(jìn)行求解．