Question

6．在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，x軸水平、y軸豎直向下．計(jì)時(shí)開(kāi)始時(shí)，位于原點(diǎn)O處的沙漏由靜止出發(fā)，以加速度a=1m/s²沿x軸正方向做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，此過(guò)程中沙從沙漏中漏出，每隔任意相等的時(shí)間間隔漏出相同質(zhì)量的沙．已知重力加速度為g=10m/s²，不計(jì)空氣阻力以及沙相對(duì)沙漏的初速度．
（1）求2s時(shí)刻漏出的沙在5s時(shí)刻的位置坐標(biāo)；
（2）t（t＞2s）時(shí)刻空中的沙排成一條曲線，求該曲線方程．

Answer 1

分析 （1）由題意可知，沙子漏出后水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，豎直方向做自由落體運(yùn)動(dòng)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)基本公式求出在（t-t₀）時(shí)間內(nèi)水平和豎直方向的位移即可求出位置坐標(biāo)，
（2）聯(lián)立方程，消去未知數(shù)t₀，則t時(shí)刻所有沙構(gòu)成的圖線方程即可求出．

解答 解：（1）沙隨沙漏一起做勻加速運(yùn)動(dòng)2s時(shí)的位移為：${x_0}=\frac{1}{2}at_0^2=2m$
此時(shí)漏出的沙具有的水平初速度為：υ₀=at₀=2m/s
此后漏出的沙做平拋運(yùn)動(dòng)，到5s時(shí)刻時(shí)平拋運(yùn)動(dòng)的水平位移為：x₁=υ₀（t-t₀）=6m
豎直位移即y坐標(biāo)為：$y=\frac{1}{2}g{（t-{t_0}）^2}=45m$…①
而x坐標(biāo)為：x=x₀+x₁=8m…②
所以，2s時(shí)刻漏出的沙在5s時(shí)的坐標(biāo)為：（8m，45m）
（2）聯(lián)立①②，消去未知數(shù)t₀，則t時(shí)刻所有沙構(gòu)成的圖線滿足方程：$y=-\frac{g}{a}x+\frac{1}{2}g{t^2}$
答：（1）2s時(shí)刻漏出的沙在5s時(shí)刻的位置坐標(biāo)為（8m，45m）；
（2）t（t＞2s）時(shí)刻空中的沙排成一條曲線，該曲線方程為$y=-\frac{g}{a}x+\frac{1}{2}g{t^2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題的關(guān)鍵是正確分析沙子漏出后的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，知道沙子漏出后水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，豎直方向做自由落體運(yùn)動(dòng)，難度適中．