Question

2．甲，乙兩顆人造衛(wèi)星在同一平面內沿同一方向做勻速圓周運動，甲衛(wèi)星距離地面的高度是地球半徑的$\frac{1}{2}$，乙衛(wèi)星距離地面的高度是地球半徑的5倍．某時刻兩衛(wèi)星相距最近，問：經過多少個乙衛(wèi)星做圓周運動的周期，兩衛(wèi)星第一次相距最遠？

Answer 1

分析 衛(wèi)星做速圓周運動，根據開普勒第三定律--周期定律可求周期之比．某時刻兩衛(wèi)星正好同時通過地面上同一點的正上方，當兩顆衛(wèi)星轉動角度相差π時，相距最遠．

解答 解：（1）由題甲乙兩衛(wèi)星的軌道分別為 r₁=$\frac{3R}{2}$，r₂=6R
由開普勒行星運動規(guī)律$\frac{{R}^{3}}{{T}^{2}}=k$，k相同，則得$\frac{{r}_{1}^{3}}{{T}_{1}^{2}}=\frac{{r}_{2}^{3}}{{T}_{2}^{2}}$
所以$\frac{{T}_{1}}{{T}_{2}}$=$\frac{{r}_{1}^{\frac{3}{2}}}{{r}_{2}^{\frac{3}{2}}}$=$\frac{1}{8}$
設經過t時間 二者第一次相距最遠，若兩衛(wèi)星同向運轉，此時甲比乙多轉π角度，
則  $\frac{2π}{{T}_{1}}t-\frac{2π}{{T}_{2}}t=π$
這段時間乙經過的周期數為n=$\frac{t}{{T}_{2}}$
解得，n=$\frac{1}{14}$
答：經過$\frac{1}{14}$個乙衛(wèi)星做圓周運動的周期，兩衛(wèi)星第一次相距最遠．

點評 本題既可應用萬有引力提供向心力求解，也可應用開普勒行星運動定律求解，以后者較為方便，兩衛(wèi)星何時相距最遠的求解，要分同向運轉與反向運轉兩種情形，用到的數學變換相對較多，增加了本題難度．