Question

如圖所示，在半徑為R的絕緣圓筒內(nèi)有勻強(qiáng)磁場(chǎng)，方向垂直紙面向里，圓筒正下方有小孔C與平行金屬板M、N相通．兩板間距離為d，兩板與電動(dòng)勢(shì)為E的電源連接，一帶電量為-q、質(zhì)量為m的帶電粒子（重力忽略不計(jì)），在C點(diǎn)正下方緊靠N板的A點(diǎn)，無(wú)初速經(jīng)電場(chǎng)加速后從C點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)，與圓筒發(fā)生兩次碰撞后從C點(diǎn)射出．已知帶電粒子與筒壁的碰撞無(wú)電荷量的損失，且碰撞后以原速率返回．求：
（1）大致畫(huà)出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡；
（2）筒內(nèi)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小；
（3）帶電粒子從A點(diǎn)出發(fā)至第一次回到A點(diǎn)所經(jīng)歷的時(shí)間；
（4）若帶電粒子與圓筒發(fā)生N次碰撞后從C點(diǎn)射出．求帶電粒子從A點(diǎn)出發(fā)至第一次回到A點(diǎn)所經(jīng)歷的時(shí)間．

Answer 1

分析：（1）粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，與圓筒垂直碰撞后返回，每個(gè)圓弧軌跡為三分之一圓周；
（2）對(duì)直線加速過(guò)程運(yùn)用動(dòng)能定理列式求解出圓周運(yùn)動(dòng)的速度；根據(jù)幾何關(guān)系求解圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑；然后根據(jù)洛倫茲力提供向心力列式求解出磁感應(yīng)強(qiáng)度；
（3）根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解出粒子從A到C的時(shí)間，圓周運(yùn)動(dòng)的實(shí)際剛好為半個(gè)周期，從C到A時(shí)間與A到C時(shí)間相等；
（4）粒子從A到C和從C到A世間不變，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間求出總的圓心角后列式求解即可．

解答：解：（1）如圖所示；

（2）由題意知，帶電粒子從C孔進(jìn)入，與筒壁碰撞2次再?gòu)腃孔射出
由qE=

1

2

mv2
粒子由C孔進(jìn)入磁場(chǎng)，在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速率為v=

2qE m

由r=

mv

qB

，即Rcot30°=

mv

qB

得：B=

1

R

2mE 3q

（3）粒子從A到C的加速度為a=

qE

md

，d=

a t 2 1

2

粒子從A到C的時(shí)間為t1=

2d a

=d

2m qE

粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t2=

T

2

=

πm

qB

將（1）求得的B值代入，得t2=πR

3m 2qE

求得：t=2t1+t2=

m qE

(2

2

d+

3 2

πR)
（4）設(shè)碰撞n次，則對(duì)應(yīng)的一小段圓弧的圓心角為：180°-

360°

n+1

；
故圓周運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：t2′=

(n+1)(180°- 360° n+1 )

360°

T=

n-1

2

T=(n-1)

πm

qB

；
將（1）求得的B值代入，得t2′=π(n-1)R

3m 2qE

粒子從A到C的加速度為a=

qE

md

，d=

a t 2 1

2

粒子從A到C的時(shí)間為t1=

2d a

=d

2m qE

求得：t′=2t1′+t2=

m qE

[2

2

d+

3 2

(n-1)πR]
答：（1）粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖；
（2）筒內(nèi)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為

1

R

2mE 3q

；
（3）帶電粒子從A點(diǎn)出發(fā)至第一次回到A點(diǎn)所經(jīng)歷的時(shí)間為

m qE

(2

2

d+

3 2

πR)；
（4）帶電粒子從A點(diǎn)出發(fā)至第一次回到A點(diǎn)所經(jīng)歷的時(shí)間為

m qE

[2

2

d+

3 2

(n-1)πR]．

點(diǎn)評(píng)：本題關(guān)鍵明確帶電粒子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，畫(huà)出運(yùn)動(dòng)軌跡，然后根據(jù)幾何關(guān)系求解出半徑，再根據(jù)動(dòng)能定理和牛頓第二定律列式求解，難題．