Question

19．如圖所示，在真空中半徑r=3.0×10^-2m的圓形區(qū)域內，有磁感應強度B=0.2T，方向如圖的勻強磁場，一批帶正電的粒子以初速度v₀=1.0×10⁶m/s，從磁場邊界上直徑ab的一端a沿著各個方向射入磁場，且初速度方向與磁場方向都垂直，該粒子的比荷為$\frac{q}{m}$=1.0×10⁸C/kg，不計粒子重力．求：
（1）粒子的軌跡半徑；
（2）粒子在磁場中運動的最長時間；
（3）若射入磁場的速度改為v₀=3.0×10⁵m/s，其他條件不變，試用斜線畫出該批粒子在磁場中可能出現的區(qū)域．（sin37°=0.6，cos37°=0.8）

Answer 1

分析 （1）粒子在磁場中做圓周運動，洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律求出粒子的軌道半徑；
（2）首先做出軌跡圖，利用幾何關系判斷出當弦長為多少時運動時間最長，從而可以計算出粒子在磁場中運行的最長時間；
（3）由確定的速度先求出粒子在磁場中的運動半徑，利用幾何關系判斷出粒子射出磁場的區(qū)域，然后分析答題．

解答 解：（1）粒子在磁場中做勻速圓周運動，洛倫茲力提供向心力，
由牛頓第二定律得：qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$，解得：R=$\frac{m{v}_{0}}{qB}$=5.0×10^-2m．
（2）由于R＞r，要使粒子在磁場中運動的時間最長，則粒子在磁場中運動的圓弧所對應的弧長最長，
從圖甲中可以看出，以直徑ab為弦、R為半徑所作的圓周，粒子運動時間最長，
粒子做圓周運動的周期：T=$\frac{2πm}{qB}$，粒子的最長運動時間：t_m=$\frac{2α}{2π}$×T=$\frac{2α•m}{qB}$，
又sinα=$\frac{r}{R}$=$\frac{3}{5}$，解得：t_m=6.5×10^-8s．
（3）速度改為v₀=3.0×10⁵m/s時，粒子的軌道半徑：R′=$\frac{mv0′}{qB}$=1.5×10^-2m＜r，
粒子在磁場中可能出現的區(qū)域：如圖中以Oa為直徑的半圓及以a為圓心、Oa為半徑的圓與磁場相交的部分，如圖所示．
答：（1）粒子的軌跡半徑為5.0×10^-2m；
（2）粒子在磁場中運動的最長時間為6.5×10^-8s；
（3）若射入磁場的速度改為v₀=3.0×10⁵ m/s，其他條件不變，該批粒子在磁場中可能出現的區(qū)域如圖所示．

點評 解決帶電粒子在勻強磁場中勻速圓周運動問題時，應首先確定圓心的位置，找出半徑，做好草圖，利用數學幾何并結合運動規(guī)律進行求解．
（1）圓心的確定：因洛倫茲力始終指向圓心，根據洛倫茲力的方向與速度的方向垂直，畫出粒子運動軌跡中的任意兩點（一般是射入和射出磁場的兩點）的洛倫茲力的方向，其延長線的交點即為圓心．
（2）半徑的確定和計算，半徑的計算一般是利用幾何知識，常用解三角形的方法．
（3）在磁場中運動時間的確定，由求出t，t=$\frac{θ}{2π}$（θ為弧度）；應注意速度矢量轉過的角度θ，就是圓半徑轉過的角度，以及弦切角與圓心角的關系