Question

20．如圖，AB是傾角為θ=37°的粗糙直軌道，BCD是光滑的圓弧軌道，AB恰好在B點(diǎn)與圓弧相切，圓弧的半徑為R=3m，一個(gè)質(zhì)量為m=1kg的物體（可以看作質(zhì)點(diǎn)）從直軌道上的P點(diǎn)由靜止釋放，結(jié)果它能在兩軌道間做往返運(yùn)動(dòng)．已知P點(diǎn)與圓弧的圓心O等高，OB于豎直方向夾角也為θ，物體與軌道AB間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.5．（已知sin37°=0.6；cos37°=0.8）求：
（1）物體到達(dá)B點(diǎn)的速度大小v_B；
（2）若需要恰好到達(dá)D點(diǎn)，物體在P點(diǎn)的動(dòng)能E_KP為多少；
（3）在（1）中物體做往返運(yùn)動(dòng)的整個(gè)過(guò)程中在AB軌道上通過(guò)的總路程S．

Answer 1

分析 （1）物體由P到B，重力和摩擦力做功，根據(jù)動(dòng)能定理求物體到達(dá)B點(diǎn)的速度大小v_B；
（2）物體恰好到達(dá)D點(diǎn)時(shí)，由重力提供向心力，由牛頓第二定律求出D點(diǎn)的速度，再由動(dòng)能定理求物體在P點(diǎn)的動(dòng)能E_KP；
（3）因?yàn)槟Σ猎谛泵嫔鲜冀K對(duì)物體做負(fù)功，所以物體最終在圓心角為2θ的圓弧上往復(fù)運(yùn)動(dòng)，到達(dá)B點(diǎn)的速度為零，對(duì)整體過(guò)程運(yùn)用動(dòng)能定理求物體在AB軌道上通過(guò)的總路程S．

解答 解：（1）由P到B，由動(dòng)能定理得：
 $mgsinθ{S_{PB}}-μmgcosθ{S_{PB}}=\frac{1}{2}m{v_B}^2$
又 ${S_{PB}}=\frac{R}{tanθ}=4m$
解得：v_B=2m/s
（2）能恰好到達(dá)D點(diǎn)最小速度v_D
由牛頓第二定律有：$mg=m\frac{{{v_D}^2}}{R}$
從P點(diǎn)到D點(diǎn)，由動(dòng)能定理得：
$-μmgcosθ{S_{PB}}-mgR=\frac{1}{2}m{v_D}^2-{E_{KP}}$
解得：E_KP=61J
（3）因?yàn)槟Σ猎谛泵嫔鲜冀K對(duì)物體做負(fù)功，所以物體最終在圓心角為2θ的圓弧上往復(fù)運(yùn)動(dòng)，到達(dá)B點(diǎn)的速度為零
對(duì)整體過(guò)程由動(dòng)能定理得：mgRcosθ-μmgcosθS=0
所以總路程為：$S=\frac{R}{μ}=6m$
答：（1）物體到達(dá)B點(diǎn)的速度大小v_B是2m/s．
（2）若需要恰好到達(dá)D點(diǎn)，物體在P點(diǎn)的動(dòng)能E_KP為61J．
（3）在（1）中物體做往返運(yùn)動(dòng)的整個(gè)過(guò)程中在AB軌道上通過(guò)的總路程S是6m．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合應(yīng)用了動(dòng)能定理、圓周運(yùn)動(dòng)向心力及圓周運(yùn)動(dòng)中能過(guò)最高點(diǎn)的條件，要明確滑動(dòng)摩擦力做功與總路程有關(guān)．