Question

6．如圖，在光滑水平軌道的右方有一彈性擋板，一質量為M=0.50kg的木板正中間放有一質量為m=2kg的小鐵塊（可視為質點）靜止在軌道上，木板右端距離擋板x₀=0.5m，鐵塊與木板間動摩擦因數(shù)μ=0.2．現(xiàn)對鐵塊施加一沿著軌道水平向右的外力F=10N，木板第一次與擋板碰前瞬間撤去外力．若木板與擋板碰撞時間極短，反彈后速度大小不變，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，重力加速度g=10m/s²．
（1）木板第一次與擋板碰撞前經(jīng)歷的時間是多長？
（2）若鐵塊和木板最終停下來時，鐵塊剛好沒滑出木板，則木板有多長？
（3）從開始運動到鐵塊和木板都停下來的整個過程中，木板通過的路程是多少？

Answer 1

分析 （1）先分析鐵塊與木板能否一起運動．根據(jù)牛頓第二定律求出木板靠最大靜摩擦力或滑動摩擦力產生的加速度，假設兩者不不發(fā)生相對運動，由牛頓第二定律求得共同的加速度，從而作出判斷．再根據(jù)運動學位移時間公式求解時間．
（2）由公式v₁=at，求出木板與擋板碰前的共同速度，木板第一次與擋板碰撞前瞬間撤去外力，鐵塊以速度v₁向右做減速運動，木板與擋板碰撞后以速度v₁向左做減速運動，木板與木塊相對滑動．由牛頓第二定律和運動學公式結合求出板速度減為零經(jīng)過的時間和向左運動的最遠距離．再由能量守恒定律求解．
（3）根據(jù)運動學位移速度關系公式求出木板與擋板第二次碰后木板向左運動的最遠距離．木板與鐵塊達到共速后，將以速度v₂運動，再次與擋板碰撞．以后多次重復這些過程．運用歸納法得到木板向左運動的最遠距離與碰撞次數(shù)的關系式，即可求得木板通過的路程．

解答 解：（1）設木板靠最大靜摩擦力或滑動摩擦力產生的加速度為a_m，則，
a_m=$\frac{μmg}{M}$=8m/s²，
假設木板與物塊不發(fā)生相對運動，設共同加速度為a，則
a=$\frac{F}{M+m}$=4m/s²，
因a＜a_m，所以木板在靜摩擦力作用下與物塊一起以加速度a運動．設向右運動第一次與擋板碰撞前經(jīng)歷的時間為t，則x₀=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$，
解得 t=0.5s；
（2）設木板與擋板碰前，木板與物塊的共同速度為v₁，則
v₁=at，
解得 v₁=2m/s，
木板第一次與擋板碰撞前瞬間撤去外力，物塊以速度v₁向右做減速運動，加速度大小為a₁，木板與擋板碰撞后以速度v₁向左做減速運動，木板與木塊相對滑動，則木板加速度大小為a_m，設板速度減為零經(jīng)過的時間為t₁，向左運動的最遠距離為x₁，則
  μmg=ma₁
  v₁=a_mt₁
  ${x}_{1}=\frac{{v}_{1}^{2}}{2{a}_{m}^{\;}}$
解得 a₁=2m/s²，t₁=0.25s，x₁=0.25m，
當板速度向左為零時，設鐵塊速度為v₁′，則v₁′=v₁-a₁t₁，
設再經(jīng)過時間t₂鐵塊與木板達到共同速度v₂，木板向右位移為x₁′，則
  v₂=v₁′-a₁t₂，v₂=a_mt₂，x₁′=$\frac{1}{2}{a}_{m}{t}_{2}^{2}$，
解得 v₁′=1.5m/s，t₂=0.15s，v₂=1.2m/s，x₁′=0.09m，
因為x₁′＜x₁，所以木板與鐵塊達到共速后，將以速度v₂運動，再次與擋板碰撞．以后多次重復這些過程最終木板停在擋板處．
設木板長為L，則以木板和鐵塊系統(tǒng)為研究對象，根據(jù)能量守恒 $μmg\frac{L}{2}$=$\frac{1}{2}（m+M）{v}_{1}^{2}$
解得 L=2.5m．
（3）設木板與擋板第二次碰后，木板向左運動的最遠距離為x₂，則x₂=$\frac{{v}_{2}^{2}}{2{a}_{m}}$，
解得 x₂=0.09m，
綜上可知 v₂=0.6v₁，x₂=0.36x₁，
因為以后是多次重復上述過程．同理，有木板與擋板第三次碰后，木板與鐵塊達到共速為v₃=0.6v₂，木板向左運動的最遠距離為x₃=0.36x₂，
…
設木板與擋板第n-1次碰后，木板與鐵塊達到共速為v_n，同理有
v_n=0.6^n-1v₁
設木板與擋板第n次碰后，木板向左運動的最遠距離為x_n，同理有
x_n=0.36^n-1x₁ 
所以，從開始運動到鐵塊和木板都停下來的全過程中，設木板運動的路程為s，則 s=x₀+2x₁+2x₂+…+2x_n，n→∞
解得s=$\frac{41}{32}$m=1.28m．
答：（1）木板第一次與擋板碰撞前經(jīng)歷的時間是0.5s．
（2）若鐵塊和木板最終停下來時，鐵塊剛好沒滑出木板，則木板有2.5m．
（3）從開始運動到鐵塊和木板都停下來的整個過程中，木板通過的路程是1.28m．

點評 解決本題的關鍵要正確判斷兩個物體的運動狀態(tài)，運用牛頓第二定律和運動學公式結合，邊計算邊分析．本題也可以根據(jù)動量守恒定律和能量守恒定律結合求解，比較簡潔．