Question

14．如圖所示的模型中，小車放在光滑的水平軌道上，一切摩擦不計(jì)，小球的質(zhì)量為m，小車質(zhì)量為M，M=m，開始時(shí)小車靜止，在甲、乙圖中小球的初速度為v₀，在丙圖中小球的初速度為零，設(shè)甲圖小球不能達(dá)到車的高度，乙圖小球不能越過小車，丙圖中圓弧半徑為R，求小球上升的最大高度（離圓弧最低點(diǎn)的高度）各是多少？

Answer 1

分析 根據(jù)動(dòng)量守恒定律可明確達(dá)最高點(diǎn)時(shí)的速度，再由機(jī)械能守恒定律可求得上升的高度．

解答 解：設(shè)向右為正方向，則對(duì)甲球，由動(dòng)量守恒定律可知：
mv₀=（M+m）v
由機(jī)械能守恒定律可知：
$\frac{1}{2}$mv₀²=$\frac{1}{2}$（M+m）v²+mgh
解得h=$\frac{m{{v}^{2}}_{0}}{2（M+m）g}=\frac{{{v}^{2}}_{0}}{4g}$；
對(duì)乙圖可知：
mv₀=（M+m）v
由機(jī)械能守恒定律可知：
$\frac{1}{2}$mv₀²=$\frac{1}{2}$（M+m）v²+mgh
解得：h=$\frac{m{{v}^{2}}_{0}}{2（M+m）g}=\frac{{{v}^{2}}_{0}}{4g}$；
對(duì)丙圖設(shè)向右為正方向，由動(dòng)量守恒可知：
小物體向上運(yùn)動(dòng)的過程中，m與M組成的系統(tǒng)在水平方向的動(dòng)量守恒：
設(shè)小球滑至最高點(diǎn)時(shí)m與M的共同速度為v′
所以  mv=（M+m）v′
解得：$v′=\frac{m}{M+m}\sqrt{2gR}$    
此過程中系統(tǒng)機(jī)械能守恒，所以
$\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}（M+m）v{′}^{2}=mgh$     
解得m上升的最大高度：$h=\frac{M}{M+m}R$=$\frac{R}{2}$．
答：甲、乙兩圖中上升的高度均為$\frac{{v}_{0}^{2}}{4g}$；丙圖中為$\frac{R}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查動(dòng)量守恒定律的應(yīng)用及機(jī)械能守恒定律，要注意明確達(dá)最高點(diǎn)時(shí)的條件，正確選擇正方向，才能可準(zhǔn)確利用規(guī)律求解．