Question

6．一行星探測(cè)器從所探測(cè)的行星表面垂直升空（如圖1），探測(cè)器的質(zhì)量是1500kg，發(fā)動(dòng)機(jī)推力為恒力，升空途中發(fā)動(dòng)機(jī)突然關(guān)閉．如圖2所示為探測(cè)器速度隨時(shí)間的變化圖象，其中A點(diǎn)對(duì)應(yīng)的時(shí)刻t_A=9s，此行星半徑為6×10³km，引力恒量G=6.67×10^-11N•m²/kg²．求：

（1）探測(cè)器在該行星表面達(dá)到的最大高度；
（2）該行星表面的重力加速度；
（3）發(fā)動(dòng)機(jī)的推力；
（4）該行星的第一宇宙速度．

Answer 1

分析 （1）圖象在0-25s范圍內(nèi)“面積”表示探測(cè)器在行星表面達(dá)到的最大高度，由數(shù)學(xué)知識(shí)求解．
（2）發(fā)動(dòng)機(jī)關(guān)閉后，探測(cè)器的加速度等于該行星表面的重力加速度，由圖象的斜率求出．
（3）在0-9s時(shí)間內(nèi)，由斜率求出加速度，根據(jù)牛頓第二定律求出發(fā)動(dòng)機(jī)的推動(dòng)力．
（4）根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力和萬(wàn)有引力等于重力求解行星的第一宇宙速度．

解答 解：（1）25s末達(dá)到最高點(diǎn)，由于圖線與坐標(biāo)軸包圍的面積，
故H=$\frac{1}{2}$×25×96=1200m
即探測(cè)器在該行星表面達(dá)到的最大高度為1200m．
（2）發(fā)動(dòng)機(jī)關(guān)閉后，探測(cè)器減速上升的過(guò)程中，只受重力，故加速度即為重力加速度，
則該星球表面重力加速度大小為a=$\frac{△v}{△t}$=$\frac{96}{25-9}$=6m/s²；
（3）火箭加速過(guò)程，加速度大小為a′=$\frac{96}{9}$m/s²．
根據(jù)牛頓第二定律，有
F-mg=ma′
解得：F=m（g+a′）=2.5×10⁴N
（4）根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力得行星的第一宇宙速度v=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$，
行星表面的萬(wàn)有引力等于重力得
$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=mg
解得：v=$\sqrt{gR}$=6.0km/s
答：（1）探測(cè)器在該行星表面達(dá)到的最大高度是1200m　
（2）該行星表面的重力加速度是6.0m/s²　
（3）發(fā)動(dòng)機(jī)的推力是2.5×10⁴N
（4）該行星的第一宇宙速度是6.0km/s．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵分析清楚探測(cè)器的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，然后根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式結(jié)合牛頓第二定律列式求解．