Question

11．由不同介質(zhì)制成的兩個半徑均為R的透明四分之一圓柱體Ⅰ和Ⅱ緊靠在一起，截面如圖所示，圓心為O，頂部交點為D，以O(shè)為原點建立直角坐標(biāo)系xoy．紅色光束1從介質(zhì)Ⅰ底部的A（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$R，0）點垂直于界面入射；紅色光束2平行于y軸向下射入介質(zhì)Ⅱ，入射點為B且∠BOD=60°．已知透明介質(zhì)Ⅰ對紅光的折射率n₁=$\sqrt{2}$，透明介質(zhì)Ⅱ?qū)�紅光的折射率n₂=$\sqrt{3}$．求：光束1經(jīng)過柱面反射或折射后與y軸交點和光束2經(jīng)柱體下底面折射后與y軸交點之間的距離．

Answer 1

分析 紅光線1通過玻璃磚后不偏折．射到圓弧面上時根據(jù)入射角與臨界角的大小，判斷可知發(fā)生了全反射．光線2在圓柱面上的入射角為60°，根據(jù)折射定律求出折射角，由幾何知識求出在底面上的入射角，再由折射定律求出折射角，作出光路圖．根據(jù)幾何關(guān)系求解即可．

解答 解：紅光線1對介質(zhì) I的全反射臨界角為：C₁=arcsin$\frac{1}{{n}_{1}}$=arcsin$\frac{1}{\sqrt{2}}$=45°
而光線1由A點入射后的入射角 i₁=60°＞45°，所以將會發(fā)生全反射，反射后恰好交y軸于D點（如圖所示）．

設(shè)紅光線2在B點發(fā)生的折射的折射角為r₂，由折射定律n₂=$\frac{sin{i}_{2}}{sin{r}_{2}}$得：
 sinr₂=$\frac{sin{i}_{2}}{{n}_{2}}$=$\frac{1}{2}$
所以：r₂=30°
光線2再傳播到底部介面時入射角 i₃=30°
光線2對介質(zhì)Ⅱ的全反射臨界角為：C₂=arcsin$\frac{1}{{n}_{2}}$$\frac{\frac{1}{2}R}{cos30°}$=60°，所以不會發(fā)生全反射．
再由折射定律得：r₃=60°
設(shè)光線2射出后交y軸于P點：OP=$\frac{\frac{1}{2}R}{cos30°}$•tan30°=$\frac{1}{3}$R
所以所求的距離 d=DP=R+$\frac{1}{3}$R=$\frac{4}{3}$R
答：光束1經(jīng)過柱面反射或折射后與y軸交點和光束2經(jīng)柱體下底面折射后與y軸交點之間的距離為$\frac{4}{3}$R．

點評 本題的關(guān)鍵是掌握全反射的條件：光從光密介質(zhì)射入光疏介質(zhì)，入射角大于臨界角，能正確作出光路圖，運用幾何知識輔助分析．