Question

5．如圖所示，兩個(gè)截面半徑均為r、質(zhì)量均為m的半圓柱體A、B放在粗糙水平面上，A、B截面圓心間的距離為l．在A、B上放一個(gè)截面半徑為r、質(zhì)量為2m的光滑圓柱體C，A、B、C始終都處于靜止?fàn)顟B(tài)．求：①B對(duì)地面壓力；②地面對(duì)A的作用力；③若l越小，判斷地面對(duì)A的摩擦力如何變化？（要求用圖解法解答第③問(wèn)）

Answer 1

分析 ①以三個(gè)物體組成的整體為研究對(duì)象，根據(jù)平衡條件求地面對(duì)B的支持力，由牛頓第三定律即可求出B對(duì)地面的壓力；
②地面對(duì)A有支持力和摩擦力兩個(gè)力作用，地面對(duì)A的作用力是它們的合力；以C為研究對(duì)象，分析受力情況，由平衡條件C對(duì)A的彈力．以A為研究對(duì)象，根據(jù)平衡條件求地面對(duì)A的摩擦力，由力的合成得到地面對(duì)A的作用力．
③若l越小，以C為研究對(duì)象，用圖解法分析A對(duì)C的彈力如何變化．再以A為研究對(duì)象，用圖解法分析地面對(duì)A的摩擦力如何變化．

解答 解：①以三個(gè)物體組成的整體為研究對(duì)象，受到總重力和地面對(duì)A和B支持力，兩個(gè)支持力大小相等，設(shè)為N₁，則由平衡條件得：
2N₁=4mg，
得：N₁=2mg，
由牛頓第三定律得知B對(duì)地面的壓力大小也為2mg；
②地面對(duì)A有支持力和摩擦力兩個(gè)力作用，地面對(duì)A的作用力是它們的合力；以C為研究對(duì)象，根據(jù)平衡條件可得：
2N₂′cosθ=2mg
又由幾何知識(shí)得：cosθ=$\frac{\sqrt{（2r）^{2}-（0.5l）^{2}}}{2r}$，sinθ=$\frac{0.5l}{2r}$=$\frac{l}{4r}$
聯(lián)立解得：N₂′=$\frac{4mgr}{\sqrt{16{r}^{2}-{l}^{2}}}$
以A為研究對(duì)象，A受到重力mg、地面的支持力N₁、摩擦力f、C球的壓力N₂．由牛頓第三定律有：N₂=N₂′=$\frac{4mgr}{\sqrt{16{r}^{2}-{l}^{2}}}$
如圖所示，根據(jù)平衡條件知：f=N₂sinθ=$\frac{mgl}{\sqrt{16{r}^{2}-{l}^{2}}}$

所以地面對(duì)A的支持力N₁和摩擦力f的合力 F_合=$\sqrt{{f}^{2}+{N}_{2}^{2}}$=mg$\sqrt{\frac{16{r}^{2}+{l}^{2}}{16{r}^{2}-{l}^{2}}}$
即地面對(duì)A的作用力為F_合=mg$\sqrt{\frac{16{r}^{2}+{l}^{2}}{16{r}^{2}-{l}^{2}}}$．
③下圖中黑線表示l減小前C、A的受力情況，藍(lán)線表示l減小后的受力情況，由圖知l越小，地面對(duì)A的摩擦力f越小．

答：①B對(duì)地面壓力是2mg；
②地面對(duì)A的作用力為mg$\sqrt{\frac{16{r}^{2}+{l}^{2}}{16{r}^{2}-{l}^{2}}}$；
③l越小，地面對(duì)A的摩擦力f越小．

點(diǎn)評(píng) 本題是三個(gè)物體的平衡問(wèn)題，首先要靈活選擇研究對(duì)象，其次要正確分析受力情況．可運(yùn)用函數(shù)法和圖解法兩種方法f的變化．