Question

（2008?昆明模擬）如圖所示，ABC是半徑為R的大型光滑半圓柱面軌道，運(yùn)動(dòng)員乙腳踏一滑板車靜止于軌道最低點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)員甲腳踏一滑板車背對(duì)乙從軌道最高點(diǎn)A由靜止開始下滑，甲到達(dá)最低點(diǎn)的瞬間被運(yùn)動(dòng)員乙抓住，之后兩人一起以相同的速度共同沿圓柱面上滑，已知兩運(yùn)動(dòng)員連同自己的小車總質(zhì)量均為m．
（1）求兩人共同沿圓柱面上滑的最大高度；
（2）求當(dāng)兩人再次回到圓柱面最低點(diǎn)時(shí)，他們對(duì)軌道壓力的大小；
（3）當(dāng)兩人再次回到圓柱面最低點(diǎn)的瞬間乙用力將甲推出，若乙將甲推出后自身恰能到達(dá)軌道最高點(diǎn)C，求乙將甲推出過程所做的功．

Answer 1

分析：根據(jù)甲下滑過程機(jī)械能守恒，甲乙碰撞瞬間，水平方向動(dòng)量守恒，可求甲乙共同上滑的速度，根據(jù)甲乙一起上滑過程機(jī)械能守恒列式，可求二人共同上滑的最大高度；
甲乙二人組成的系統(tǒng)一起滑到過程，機(jī)械能守恒，故再次下滑到最低點(diǎn)時(shí)速度不變，根據(jù)牛頓第二定律可求解對(duì)軌道的壓力；
根據(jù)動(dòng)量守恒和功能關(guān)系聯(lián)立列式，可求乙將甲推出過程所做的功．

解答：解：（1）設(shè)甲下滑到最低點(diǎn)時(shí)速度大小為v₀，甲、乙獲得的共同速度大小為v₁，甲下滑過程機(jī)械能守恒，有：mgR=

1

2

m

v

2 0

①
甲、乙獲得共同速度的過程，甲、乙組成的系統(tǒng)水平方向動(dòng)量守恒：
mv₀=2mv₁
甲、乙一起上滑的過程機(jī)械能守恒，故：2mgh=

1

2

(2m)

v

2 1

聯(lián)立各式，解得：h=

R

4

（2）甲、乙再次回到最低點(diǎn)時(shí)，他們的速度仍為v₁，根據(jù)牛頓第二定律：N-2mg=2m

v 2 1

R

故解得：N=3mg，
根據(jù)牛頓第三定律可得，對(duì)軌道的壓力等于軌道對(duì)人的支持力，即N′=N=3mg
（3）由于乙將甲推出后自身恰能到達(dá)最高點(diǎn)C，則乙將甲推出后的速度大小應(yīng)為v₀，設(shè)甲被乙推出后的速度為v₂，由甲、乙組成的系統(tǒng)水平方向動(dòng)量守恒，得：2mv₁=mv₂-mv₀
由功能關(guān)系得，乙將甲推出過程所做的功：W=

1

2

m

v

2 2

+

1

2

m

v

2 0

-

1

2

(2m)

v

2 1

聯(lián)立上述各式，解得：W=

9

2

mgR
答：（1）兩人共同沿圓柱面上滑的最大高度為

R

4

； 
（2）當(dāng)兩人再次回到圓柱面最低點(diǎn)時(shí)，他們對(duì)軌道壓力的大小為3mg；
（3）乙將甲推出過程所做的功為

9

2

mgR．

點(diǎn)評(píng)：本題考查動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒的應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)，要求有一定的綜合分析能力，難度適中．