Question

如圖所示，A、B、C是三個(gè)完全相同的物塊，質(zhì)量均為m，其中物塊A、B用輕彈簧相連，將它們豎直放在水平地面上處于靜止?fàn)顟B(tài)，此時(shí)彈簧的壓縮量為x₀．已知重力加速度為g，物塊的厚度及空氣阻力均可忽略不計(jì)，且在下面所述的各過程中彈簧形變始終在彈性限度內(nèi)．
（1）若用力將物塊A豎直向上緩慢提起，使物塊B恰好能離開水平地面，求此過程中物塊A被提起的高度．
（2）如果使物塊C從距物塊A高3x₀處自由落下，C與A相碰后，立即與A粘在一起不再分開，它們運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)后又向上彈起，物塊A剛好能回到使彈簧恢復(fù)為原長(zhǎng)的位置．求C與A相碰前彈簧的彈性勢(shì)能大�。�
（3）如果將物塊C從距物塊A上方某處由靜止釋放，C與A相碰后立即一起向下運(yùn)動(dòng)但并不粘連．此后物塊A、C在彈起過程中分離，其中物塊C運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)被某裝置接收，而物塊A剛好能在物塊B不離開地面的情況下做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)．求物塊C的釋放位置與接收位置間的距離．

Answer 1

（1）設(shè)彈簧勁度系數(shù)為k，物塊A、B用輕彈簧相連，豎直放置時(shí)，彈簧的壓縮量為x₀=

mg

k

．
    將物塊A豎直向上緩慢提起，使物塊B恰好能離開水平地面時(shí)，
彈簧伸長(zhǎng)x₁=

mg

k

   則物塊A被提起的高度L=x₀+x₁=2x₀
   （2）設(shè)C自由落下到與A相碰前的速度為v₁，由機(jī)械能守恒定律，得
       mg?3x₀=

1

2

m

v

21

設(shè)C與A碰撞后一起向下運(yùn)動(dòng)的初速度為v₂，根據(jù)動(dòng)量守恒定律，得
        mv₁=2mv₂
設(shè)C與A相碰前彈簧的彈性勢(shì)能為E_P，物塊A、C運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)后又向上反彈，剛好能使彈簧恢復(fù)到原長(zhǎng)的過程中，對(duì)A、C和彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒得
      有

1

2

2m

v

22

+E_P=2mgx₀
聯(lián)立解
       E_P=

1

2

mgx₀
（3）設(shè)物塊C距物塊A的高度差為h₀，與物塊A碰撞前速度為v₃，由機(jī)械能守恒定律得
      mgh₀=

1

2

m

v

23

   設(shè)C與A相碰后一起向下運(yùn)動(dòng)的初速度為v₄，根據(jù)動(dòng)量守恒定律有
      mv₃ =2mv₄
    物塊A、C一起向下壓縮彈簧后向彈起，到達(dá)彈簧原長(zhǎng)時(shí)，C與A分離．設(shè)分離時(shí)速度為v₅，對(duì)此過程由機(jī)械能守恒定律，得
   

1

2

2

mv

24

+E_P=2mgx₀+

1

2

2m

v

23

之后，物塊C向上做勻減速運(yùn)動(dòng)，設(shè)上升的高度為h，則根據(jù)機(jī)械能守恒定律有
    

1

2

m

v

25

=mgh    解得h=

v 25

2g

因物塊A剛好能在物塊B不離開地面的情況下做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，結(jié)合第（1）問可知，物塊A運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，彈簧形變量為x₀，故物塊A運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能與物塊A處于靜止?fàn)顟B(tài)彈簧的彈性勢(shì)能相等．
   對(duì)物塊A從彈簧恢復(fù)原長(zhǎng)位置運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)過程中，由機(jī)械能守恒定律有
   

1

2

m

v

25

=mgx₀+E_P
聯(lián)立以上各式，解得h₀=9x₀，h=1.5x₀
    由幾何關(guān)系可知，物塊C的釋放位置與接收位置間的距離
△h=h₀-x₀-h=6.5x₀