Question

16．如圖（甲）是游樂場中雙環(huán)過山車的實(shí)物圖片，圖（乙）是過山車的原理圖．在原理圖中半徑分別為R₁=2.0m和R₂=8.0m的兩個(gè)光滑圓形軌道被固定在傾角為α=37°斜直軌道面上的Q、Z兩點(diǎn)處（Q、Z是圓軌道的接口，也是軌道間的切點(diǎn)），圓形軌道與斜直軌道之間圓滑連接，且在同一豎直面內(nèi)．PQ之距L₁=6m，QZ之距L₂=18m，兩圓形軌道的最高點(diǎn)A、B均與P點(diǎn)平齊．現(xiàn)使一輛較小的過山車（視作質(zhì)點(diǎn)）從P點(diǎn)以一定初速度沿斜面向下運(yùn)動(dòng)．已知斜軌道面與小車間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=$\frac{1}{24}$，g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．

（1）若車恰好能通過第一個(gè)圓形軌道的最高點(diǎn)A處，則其在P點(diǎn)的初速度應(yīng)為多大？
（2）若車在P處的初速度變?yōu)?0m/s，則小車經(jīng)過第二個(gè)軌道的最低點(diǎn)D處時(shí)對軌道的壓力是重力的幾倍？計(jì)算說明車有無可能出現(xiàn)脫軌現(xiàn)象？

Answer 1

分析 （1）小車恰好能通過第一個(gè)圓形軌道的最高點(diǎn)A處時(shí)，由重力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出小球經(jīng)過A點(diǎn)的速度．由幾何知識求出P、Q間的距離S_PQ，運(yùn)用動(dòng)能定理研究小球從P到A的過程，求解P點(diǎn)的初速度．
（2）先由動(dòng)能定理求出小車通過D點(diǎn)時(shí)的速度，再由牛頓運(yùn)動(dòng)定律求對軌道的壓力．
根據(jù)小車在P點(diǎn)的初速度10m/s，與第一問中v₀比較，分析小車能否安全通過圓弧軌道O₁．若小車恰能通過B點(diǎn)，由重力提供向心力，由牛頓第二定律列方程，求出小車通過B點(diǎn)的臨界速度，根據(jù)動(dòng)能定理求出小車在P點(diǎn)的臨界速度，再確定小車能否安全通過兩個(gè)圓形軌道．

解答 解：（1）小車恰好過A點(diǎn)，由牛頓第二定律有 mg=m$\frac{{v}_{A}^{2}}{{R}_{1}}$  ①
小球P到A的過程中，由動(dòng)能定理有
  $\frac{1}{2}$mv_A²-$\frac{1}{2}$mv₀²=-μmgcos37°L₁  
聯(lián)立解得 v₀=2$\sqrt{6}$ m/s
（2）小球P到D的過程中，由動(dòng)能定理得
  $\frac{1}{2}$mv_D²-$\frac{1}{2}$mv₀²=2mgR₂-μmgcos37°（L₁+L₂）  ③
在D點(diǎn)，有 F-mg=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{{R}_{2}}$  ④
解得 F=6.05mg
若車在P處的初速度變?yōu)?0m/s，因10m/s＞2√6 m/s，故車不會在第一個(gè)圓軌道脫軌．
判車能否到達(dá)最高點(diǎn)B處：假定車恰能到達(dá)B處，所需的初速度為v₀′，有：
 mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{{R}_{2}}$ ⑥；
又有 $\frac{1}{2}$mv_B²-$\frac{1}{2}$mv₀^/2=-μmgcos37°（L₁+L₂）⑦
得 v₀′=4$\sqrt{6}$ m/s，v₀＞v₀′，綜合分析，車不會脫軌．
答：
（1）若小車恰好能通過第一個(gè)圓形軌道的最高點(diǎn)A處，則其在P點(diǎn)的初速度應(yīng)為2$\sqrt{6}$m/s；
（2）若小車在P點(diǎn)的初速度為10m/s，車不會脫軌．

點(diǎn)評 對于物體在豎直平面內(nèi)光滑圓軌道最高點(diǎn)的臨界速度v=$\sqrt{gr}$，要在理解的基礎(chǔ)上加強(qiáng)記憶，圓周運(yùn)動(dòng)往往與動(dòng)能定理、機(jī)械能守恒等進(jìn)行綜合．本題難點(diǎn)在于運(yùn)用幾何知識求距離．