Question

（2012?南通一模）如圖所示，在xoy平面內(nèi)第二象限的某區(qū)域存在一個(gè)矩形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)，磁場(chǎng)方向垂直xoy平面向里，邊界分別平行于x軸和y軸．一電荷量為e、質(zhì)量為m的電子，從坐標(biāo)原點(diǎn)O以速度v₀射入第二象限，速度方向與y軸正方向成45°角，經(jīng)過磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后，通過P（0，a）點(diǎn)，速度方向垂直于y軸，不計(jì)電子的重力．
（1）若磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B₀，求電子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t；
（2）為使電子完成上述運(yùn)動(dòng)，求磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小應(yīng)滿足的條件；
（3）若電子到達(dá)y軸上P點(diǎn)時(shí)，撤去矩形勻強(qiáng)磁場(chǎng)，同時(shí)在y軸右側(cè)加方向垂直xoy平面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B₁，在y軸左側(cè)加方向垂直xoy平面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，電子在第（k+1）次從左向右經(jīng)過y軸（經(jīng)過P點(diǎn)為第1次）時(shí)恰好通過坐標(biāo)原點(diǎn)，求y軸左側(cè)磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小B₂及上述過程電子的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t．

Answer 1

分析：（1）電子在磁場(chǎng)中由洛倫茲力提供向心力而做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，確定電子圓周運(yùn)動(dòng)的圓心角，由t=

θ

2π

T求出時(shí)間t；
（2）當(dāng)磁感應(yīng)強(qiáng)度最小時(shí)，電子回旋半徑最大，由幾何知識(shí)求出最大半徑，即可求得B的最小值，從而可求得磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小應(yīng)滿足的條件．
（3）由幾何知識(shí)求得電子在y軸右側(cè)和左側(cè)做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑與a的關(guān)系，即可求出B₂．并求出時(shí)間．

解答：解：（1）如圖甲所示，電子在磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)過的角度θ=

3π

4

運(yùn)動(dòng)周期  T=

2πm

eB0

則電子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t=

θ

2π

T
解得  t=

3πm

4eB0

（2）設(shè)磁感應(yīng)強(qiáng)度最小值為B_min，對(duì)應(yīng)最大回旋半徑為R，圓心O₁，則有
   ev0Bmin=

m v 2 0

R

由幾何關(guān)系得 R+

2

R=a
解得  Bmin=

( 2 +1)mv0

ea

則磁感應(yīng)強(qiáng)度B應(yīng)滿足的條件為  B≥

( 2 +1)mv0

ea

（3）設(shè)電子在y軸右側(cè)和左側(cè)做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑分別為r₁和r₂，則有ev0B1=

m v 2 0

r1

，ev0B2=

m v 2 0

r2

如圖乙的幾何關(guān)系可知2k（r₁-r₂）=a
解得  B2=

2kmv0B1

2kmv0-aeB1

設(shè)電子在y軸右側(cè)和左側(cè)做圓周運(yùn)動(dòng)的周期分別為T₁和T₂，則
  T1=

2πm

eB1

，
  T2=

2πm

eB2

t=k?

T1+T2

2

解得  t=

2kπm

eB1

-

πa

2v0

解：
（1）若磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B₀，電子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t是

3πm

4eB0

；
（2）為使電子完成上述運(yùn)動(dòng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小應(yīng)滿足的條件是 B≥

( 2 +1)mv0

ea

；
（3）y軸左側(cè)磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小B₂為

2kmv0B1

2kmv0-aeB1

，上述過程電子的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t為

2kπm

eB1

-

πa

2v0

．

點(diǎn)評(píng)：本題的解題關(guān)鍵是根據(jù)幾何知識(shí)求出電子回旋的最大半徑，根據(jù)圓心角，由t=

θ

2π

T求時(shí)間是常用的方法，要熟練掌握．