Question

7．有一探測(cè)衛(wèi)星在地球赤道正上方繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，已知地球質(zhì)量為M，地球半徑為R，萬有引力常量為G，探測(cè)衛(wèi)星繞地球運(yùn)動(dòng)的周期為T．求：
（1）探測(cè)衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)離地面的高度；
（2）探測(cè)衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度大��；
（3）在距地球表面高度恰好等于地球半徑時(shí)，探測(cè)衛(wèi)星上的觀測(cè)儀器某一時(shí)刻能觀測(cè)到的地球表面赤道的最大弧長(zhǎng)．（此探測(cè)器觀測(cè)不受日照影響，不考慮大氣對(duì)光的折射）

Answer 1

分析 （1）探測(cè)衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，由地球的萬有引力提供向心力，根據(jù)萬有引力定律和牛頓運(yùn)動(dòng)定律列式求解；
（2）探測(cè)衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)速度大小可由圓周運(yùn)動(dòng)的公式v=$\frac{2πr}{T}$求解；
（3）作出觀測(cè)到赤道上的弧長(zhǎng)的圖形，根據(jù)幾何關(guān)系求解．

解答 解：（1）設(shè)衛(wèi)星質(zhì)量為m，衛(wèi)星繞地球運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為r，根據(jù)萬有引力定律和牛頓運(yùn)動(dòng)定律得：
$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{4π}^{2}r}{{T}^{2}}$
解得：r=$\root{3}{\frac{G{MT}^{2}}{{4π}^{2}}}$
則衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)離地面的高度 h=r-R=$\root{3}{\frac{G{MT}^{2}}{{4π}^{2}}}$-R
（2）設(shè)衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度大小為v，則有：v=$\frac{2πr}{T}$=$\root{3}{\frac{2πGM}{T}}$
（3）設(shè)宇宙飛船在地球赤道上方A點(diǎn)處，距離地球中心為2R，飛船上的觀測(cè)儀器能觀測(cè)到地球赤道上的B點(diǎn)和C點(diǎn)，能觀測(cè)到赤道上的弧長(zhǎng)是L_BC，
cosα=$\frac{R}{2R}$=$\frac{1}{2}$，
得：α=60°
能觀測(cè)到地球表面赤道的最大長(zhǎng)度L_BC=$\frac{2πR}{3}$
答：
（1）探測(cè)衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)的軌道半徑為$\root{3}{\frac{G{MT}^{2}}{{4π}^{2}}}$-R；
（2）探測(cè)衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度大小為$\root{3}{\frac{2πGM}{T}}$；
（3）能觀測(cè)到地球表面赤道的最大長(zhǎng)度為$\frac{2πR}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 探測(cè)衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)萬有引力定律得衛(wèi)星受到的萬有引力，掌握?qǐng)A周運(yùn)動(dòng)的公式的應(yīng)用，根據(jù)萬有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力求解，掌握基本規(guī)律是解決問題的基礎(chǔ)，本題屬于基礎(chǔ)題不難．