Question

如右圖所示，一個很長的豎直放置的圓柱形磁鐵，在其外部產(chǎn)生一個中心輻射的磁場（磁場水平向外），其大小為B=k/r（其中r為輻射半徑--考察點到圓柱形磁鐵中心軸線的距離，k為常數(shù)），設(shè)一個與磁鐵同軸的圓形鋁環(huán)，半徑為R（大于圓柱形磁鐵的半徑），圓環(huán)通過磁場由靜止開始下落，下落過程中圓環(huán)平面始終水平，已知鋁絲電阻為R₀，密度為m，當(dāng)?shù)氐闹亓�加速度為g，試求：
（1）圓環(huán)下落的速度為v時的電功率多大？
（2）圓環(huán)下落的最終速度v_m是多大？
（3）如果從開始到下落高度為h時，速度最大，經(jīng)歷的時間為t，這一過程中圓環(huán)中電流的有效值I₀是多大？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)切割產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢，抓住切割的有效長度求出感應(yīng)電動勢的大小，通過閉合電路歐姆定律求出電流的大小，從而求出圓環(huán)下落的速度為v時的電功率．
（2）當(dāng)重力等于安培力時，速度最大，根據(jù)平衡，結(jié)合切割產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢公式、閉合電路歐姆定律以及安培力大小公式求出最終的速度大小．
（3）根據(jù)能量守恒定律求出這一過程中圓環(huán)中電流的有效值．

解答：解：（1）由題意知鋁圓環(huán)所在處在磁感應(yīng)強(qiáng)度B為B=

k

r

圓環(huán)的有效切割長度為其周長即L=2πR
當(dāng)環(huán)速度為v時，切割磁感線產(chǎn)生的電動勢為：E=BLv=2kπv
鋁圓環(huán)中的電流為：I=

E

R0

故圓環(huán)速度為v時電功率為：P=I²R₀
聯(lián)立以上各式解得：P=

4k2π2v2

R0

（2）當(dāng)圓環(huán)加速度為零時，有最大速度v_m，此時安培力
F=BIL=

B2L2vm

R0

由平衡條件可知：mg=F
得：v_m=-

mgR0

B2L2

（3）由能量守恒定律得：mgh=

1

2

mvm2+I02R0t．
得：I₀=(

mgh- 1 2 mvm2

R0t

)

1

2

．
答：（1）圓環(huán)下落的速度為v時的電功率P=

4k2π2v2

R0

（2）圓環(huán)下落的最終速度v_m是

mgR0

B2L2

．
（3）這一過程中圓環(huán)中電流的有效值I₀是(

mgh- 1 2 mvm2

R0t

)

1

2

．

點評：本題考查電磁感應(yīng)與力學(xué)以及能量的綜合，掌握切割產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢公式、閉合電路歐姆定律等知識，知道當(dāng)重力等于安培力時，速度最大．