Question

6．如圖所示，直角坐標(biāo)系xOy平面內(nèi)，在平行于y軸的虛線MN右側(cè)y＞0的區(qū)域內(nèi)，存在著沿y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場；在y＜0的某區(qū)域存在方向垂直于坐標(biāo)平面的有界勻強(qiáng)磁場（圖中未畫出）．現(xiàn)有一電荷量為q、質(zhì)量為m的帶正電粒子從虛線MN上的P點(diǎn)，以平行于x軸方向的初速度v₀射入電場，并恰好從原點(diǎn)O處射出，射出時(shí)速度方向與x軸夾角為60°．此后粒子先做勻速運(yùn)動(dòng)，然后進(jìn)入磁場，粒子從有界磁場中射出時(shí)，恰好位于y軸上Q（0，-l）點(diǎn)，且射出時(shí)速度方向沿x軸負(fù)方向，不計(jì)帶電粒子的重力．求：
（1）P、O兩點(diǎn)間的電勢差；
（2）勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度；
（3）帶電粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）帶電粒子從P點(diǎn)射入電場做類平拋運(yùn)動(dòng)，將O點(diǎn)速度分解，根據(jù)動(dòng)能定理求出P、O兩點(diǎn)間的電勢差U．
（2）粒子在y＜0的區(qū)域內(nèi)的勻強(qiáng)磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為R，磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B．
由題意，粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心一定在y軸上，洛倫茲力提供向心力qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，再根據(jù)幾何關(guān)系求出半徑R，代入可計(jì)算出B．
（3）帶電粒子在磁場中周期T=$\frac{2πm}{qB}$，轉(zhuǎn)過的圓心角為120°，所以在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t=$\frac{1}{3}T$．

解答 解：粒子在點(diǎn)場中做類平拋運(yùn)動(dòng)，有v=$\frac{{v}_{0}}{cos60°}$
設(shè)P、Q兩點(diǎn)間電勢差為U，由動(dòng)能定理有：
qU=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$               
解得：U=$\frac{3m{v}_{0}^{2}}{2q}$                    
（2）粒子在y＜0的區(qū)域內(nèi)運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖所示．
設(shè)其在勻強(qiáng)磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為R，磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B．
由題意，粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心一定在y軸上．
由牛頓第二定律qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
解得R=$\frac{mv}{qB}$
由幾何知道得$\frac{R}{sin30°}$+R=l
解得R=$\frac{l}{3}$
所以B=$\frac{6m{v}_{0}}{ql}$
（3）帶電粒子在磁場中周期T=$\frac{2πm}{qB}$，轉(zhuǎn)過的圓心角為120°，所以在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t=$\frac{1}{3}T$=$\frac{2πm}{3qB}$=$\frac{π}{9{v}_{0}}$
答：（1）P、O兩點(diǎn)間的電勢差為$\frac{3m{v}_{0}^{2}}{2q}$；
（2）勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B=$\frac{6m{v}_{0}}{ql}$；
（3）在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t=$\frac{π}{9{v}_{0}}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵知道粒子在勻強(qiáng)電場中做類平拋運(yùn)動(dòng)，進(jìn)入磁場做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律、運(yùn)動(dòng)學(xué)公式以及幾何關(guān)系進(jìn)行求解．