Question

8．如圖所示，在水平固定的光滑平板上，有一質(zhì)量為m的小球，與穿過中央小孔的輕繩一端連著．平板與小孔是光滑的，用手拉著繩子下端，使小球做半徑為a、角速度為ω的勻速圓周運(yùn)動(dòng)．若繩子迅速放松至某一長度b而拉緊，小球就能在以半徑為b的圓周上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)（b＞a）．求：
（1）小球以半徑a做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，手的拉力是多大？
（2）繩子由放松到拉緊所用的時(shí)間
（3）繩子拉緊后小球的速率．

Answer 1

分析 先畫出運(yùn)動(dòng)示意圖，然后利用向心力公式求解拉力；據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)的知識(shí)和幾何關(guān)系求出運(yùn)動(dòng)的距離和速度，然后利用t=$\frac{s}{v}$求解；再據(jù)幾何關(guān)系求出拉緊后的速度即可．

解答 解：小球的運(yùn)動(dòng)軌跡如下圖所示，據(jù)向心力公式得：F=mω²a

繩子迅速放松時(shí)，小球沿原來軌道的切線方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)至半徑為b的新軌道處，距離為$\sqrt{^{2}-{a}^{2}}$，
速度為v=ωa，
所以時(shí)間為t=$\frac{\sqrt{^{2}-{a}^{2}}}{ωa}$
至新軌道后，繩子拉緊，將原來速度ωa分解，繩子方向速度消失，剩下新軌道切線方向的速度，即新的圓周運(yùn)動(dòng)的速度，據(jù)幾何關(guān)系可知，$\frac{{v}_{x}}{ωa}$=$\frac{a}$
所以：v_x=$\frac{ω{a}^{2}}$    
答：（1）小球以半徑a做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，手的拉力是mω²a
（2）繩子由放松到拉緊所用的時(shí)間$\frac{\sqrt{^{2}-{a}^{2}}}{ωa}$
（3）繩子拉緊后小球的速率$\frac{ω{a}^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 畫出運(yùn)動(dòng)示意圖是解題的關(guān)鍵，找出兩種半徑速度之間的聯(lián)系，再靈活利用三角形相似求解，基礎(chǔ)題．