Question

1．如圖所示，A，B是豎直放置的平行金屬板，B中間有一小孔，水平放置的M，N兩平行金屬板相距d=0.50m，板長(zhǎng)L=1m，兩板間有電壓U₂=150V緊靠平行板右側(cè)邊緣的xOy直角坐標(biāo)系以N板右端為原點(diǎn)，在xOy坐標(biāo)系的第一象限內(nèi)有垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小B=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$×10^-2T，磁場(chǎng)邊界OC與x軸夾角∠COx=60°，現(xiàn)有比荷$\frac{q}{m}$=$\sqrt{3}×$10⁶C/kg的帶正電粒子（重力不計(jì)），通過AB板間的加速電壓U₁；加速后沿靠近M板的水平方向進(jìn)入偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)，帶電粒子離開偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)后垂直于OC邊界進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，求：
（1）加速電壓U₁的大小，
（2）帶電粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)離O點(diǎn)的距離
（3）帶電粒子從離開電場(chǎng)到離開磁場(chǎng)的總時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）帶電粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，由類平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律可言求出粒子的初速度．根據(jù)動(dòng)能定理求出加速電壓的大�。�
（2）根據(jù)豎直方向上偏轉(zhuǎn)位移，結(jié)合幾何關(guān)系求出帶電粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)離O點(diǎn)的距離．
（3）求出粒子在離開電場(chǎng)到進(jìn)入磁場(chǎng)的時(shí)間，求出粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，最后求出總的運(yùn)動(dòng)時(shí)間．

解答 解：（1）粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示：
帶電粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，
粒子垂直射入磁場(chǎng)，則速度偏向角為30°，
粒子離開磁場(chǎng)時(shí)的豎直分速度：v_y=at=$\frac{q{U}_{2}}{md}•\frac{l}{{v}_{0}}$，
豎直分速度與水平分速度之比：$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}=tan30°$，
代入數(shù)據(jù)解得：${v}_{0}=3×1{0}^{4}m/s$，
根據(jù)$q{U}_{1}=\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$得：${U}_{1}=\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{2q}=\frac{9×1{0}^{8}}{2×\sqrt{3}×1{0}^{6}}$=$150\sqrt{3}V$．
（2）粒子在電場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)位移為：$y=\frac{1}{2}a{t}^{2}=\frac{1}{2}\frac{q{U}_{2}}{md}\frac{{l}^{2}}{{{v}_{0}}^{2}}$，
代入數(shù)據(jù)解得：y=$\frac{\sqrt{3}}{6}m$，
根據(jù)幾何關(guān)系得，帶電粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)離O點(diǎn)的距離為：
s₁=$（d-y）cos30°=（0.5-\frac{\sqrt{3}}{6}）×\frac{\sqrt{3}}{2}$m=$\frac{\sqrt{3}-1}{4}$m．
（3）粒子離開電場(chǎng)的速度為：
v=$\frac{{v}_{0}}{cos30°}=\frac{3×1{0}^{4}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}m/s=2\sqrt{3}×1{0}^{4}m/s$，
粒子離開電場(chǎng)后做勻速直線運(yùn)動(dòng)，直線運(yùn)動(dòng)距離：
s₂=（d-y）sin30°，
代入數(shù)據(jù)解得：s₂=$\frac{3-\sqrt{3}}{12}m$，
則運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：${t}_{1}=\frac{{s}_{2}}{v}$，
代入數(shù)據(jù)解得：${t}_{1}=\frac{\sqrt{3}-1}{24}×1{0}^{-4}s$，
粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后的軌道半徑為R，R=$\frac{mv}{qB}$，
代入數(shù)據(jù)解得：R=$\frac{\sqrt{3}}{4}m$，
因?yàn)?{s}_{1}=\frac{\sqrt{3}-1}{4}m$，
由正弦定理得：$\frac{R}{sin120°}=\frac{R-{s}_{1}}{sinθ}$，
解得θ=30°，
由此可知，帶電粒子在磁場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)角度為30°，
由在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：t₂=$\frac{1}{12}T=\frac{1}{12}×\frac{2πm}{qB}$
代入數(shù)據(jù)解得：t₂=$\frac{π}{48}×1{0}^{-4}s$
則總運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：t=t₁+t₂=$（\frac{\sqrt{3}-1}{24}+\frac{π}{48}）×1{0}^{-4}s$．
答：（1）加速電壓U₁的大小為$150\sqrt{3}$V．
（2）帶電粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)離O點(diǎn)的距離為$\frac{\sqrt{3}-1}{4}$m．
（3）帶電粒子從離開電場(chǎng)到離開磁場(chǎng)的總時(shí)間為$（\frac{\sqrt{3}-1}{24}+\frac{π}{48}）×1{0}^{-4}s$．．

點(diǎn)評(píng) 考查帶電粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)與類平拋運(yùn)動(dòng)中，用牛頓第二定律與運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，并結(jié)合幾何關(guān)系來處理這兩種運(yùn)動(dòng)，強(qiáng)調(diào)運(yùn)動(dòng)的分解，并突出準(zhǔn)確的運(yùn)動(dòng)軌跡圖．