Question

10．一輛質(zhì)量m=2.0t的小轎車，駛過(guò)半徑R=90m的一段圓弧形橋面，重力加速度g=10m/s²．求：
（1）若橋面為凹形，汽車以20m/s的速度通過(guò)橋面最低點(diǎn)時(shí)，對(duì)橋面壓力是多大？
（2）若橋面為凸形，汽車以10m/s的速度通過(guò)橋面最高點(diǎn)時(shí)，對(duì)橋面壓力是多大？
（3）汽車以多大速度通過(guò)凸形橋面頂點(diǎn)時(shí)，對(duì)橋面剛好沒(méi)有壓力？

Answer 1

分析 首先要確定汽車在何位置時(shí)對(duì)橋面的壓力最大，汽車經(jīng)過(guò)凹形橋面時(shí)，向心加速度方向向上，汽車處于超重狀態(tài)；經(jīng)過(guò)凸形橋面時(shí)，向心加速度方向向下，汽車處于失重狀態(tài)，所以當(dāng)汽車經(jīng)過(guò)凹形橋面的最低點(diǎn)時(shí)，汽車對(duì)橋面的壓力最大．

解答 解：（1）汽車通過(guò)凹形橋面最低點(diǎn)時(shí)，在水平方向受到牽引力F和阻力f．在豎直方向受到橋面向上的支持力N₁和向下的重力G，如圖（甲）所示．圓弧形軌道的圓心在汽車上方，支持力N₁與重力G的合力為N₁-mg，這個(gè)合力就是汽車通過(guò)橋面最低點(diǎn)時(shí)的向心力，即F_向=N₁-mg．
由向心力公式有：
N₁-mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
解得橋面的支持力大小為：
N₁=m$\frac{{v}^{2}}{R}$+mg=（2000×$\frac{2{0}^{2}}{90}$+2000×10）N=28900N
根據(jù)牛頓第三定律，汽車對(duì)橋面最低點(diǎn)的壓力大小是28900N．
（2）汽車通過(guò)凸形橋面最高點(diǎn)時(shí)，在水平方向受到牽引力F和阻力f，在豎直方向受到豎直向下的重力G和橋面向上的支持力N₂，如圖（乙）所示．圓弧形軌道的圓心在汽車的下方，重力G與支持力N₂ 的合力為mg-N₂，這個(gè)合力就是汽車通過(guò)橋面頂點(diǎn)時(shí)的向心力，即F_向=mg-N₂，由向心力公式有
mg-N₂=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
解得橋面的支持力大小為：N₂=mg-m$\frac{{v}^{2}}{R}$=（2000×10-2000×$\frac{1{0}^{2}}{90}$）=17800N
根據(jù)牛頓第三定律，汽車在橋的頂點(diǎn)時(shí)對(duì)橋面壓力的大小為17800N．
（3）設(shè)汽車速度為v_m時(shí)，通過(guò)凸形橋面頂點(diǎn)時(shí)對(duì)橋面壓力為零．根據(jù)牛頓第三定律，這時(shí)橋面對(duì)汽車的支持力也為零，汽車在豎直方向只受到重力G作用，重力就是汽車駛過(guò)橋頂點(diǎn)時(shí)的向心力，由向心力公式有：
mg=m$\frac{{{v}_{m}}^{2}}{R}$，
解得：v_m=$\sqrt{gR}=\sqrt{10×90}$=30m/s
汽車以30 m/s的速度通過(guò)橋面頂點(diǎn)時(shí)，對(duì)橋面剛好沒(méi)有壓力．
答：（1）若橋面為凹形，汽車以20m/s的速度通過(guò)橋面最低點(diǎn)時(shí)，汽車對(duì)橋面最低點(diǎn)的壓力大小是28900N．
（2）若橋面為凸形，汽車以10m/s的速度通過(guò)橋面最高點(diǎn)時(shí)，對(duì)橋面壓力是17800N；
（3）汽車以30m/s速度通過(guò)凸形橋面頂點(diǎn)時(shí)，對(duì)橋面剛好沒(méi)有壓力．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵搞清向心力的來(lái)源，根據(jù)牛頓第二定律進(jìn)行求解，知道汽車對(duì)橋面剛好沒(méi)有壓力時(shí)，由重力提供向心力，難度適中．