Question

有一探測衛(wèi)星在地球赤道正上方繞地球做勻速圓周運(yùn)動，已知地球質(zhì)量為M，地球半徑為R，萬有引力常量為G，探測衛(wèi)星繞地球運(yùn)動的周期為T．求：
（1）探測衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動時的軌道半徑；
（2）探測衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動時的速度大�。�
（3）在距地球表面高度恰好等于地球半徑時，探測衛(wèi)星上的觀測儀器某一時刻能觀測到的地球表面赤道的最大弧長．（此探測器觀測不受日照影響，不考慮空氣對光的折射）

Answer 1

分析：（1）探測衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動時，由地球的萬有引力提供向心力，根據(jù)萬有引力定律和牛頓運(yùn)動定律列式求解；
（2）探測衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動時速度大小可由圓周運(yùn)動的公式v=

2πr

T

求解；
（3）作出觀測到赤道上的弧長的圖形，根據(jù)幾何關(guān)系求解．

解答：解：（1）設(shè)衛(wèi)星質(zhì)量為m，衛(wèi)星繞地球運(yùn)動的軌道半徑為r，根據(jù)萬有引力定律和牛頓運(yùn)動定律得：
  G

Mm

r2

=m

4π2r

T2

解得 r=

3	GMT2 4π2

（2）設(shè)衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動時的速度大小為v，則v=

2πr

T

=

3	2πGM T

（3）設(shè)宇宙飛船在地球赤道上方A點(diǎn)處，距離地球中心為2R，飛船上的觀測儀器能觀測到地球赤道上的B點(diǎn)和C點(diǎn)，能觀測到赤道上的弧長是L_BC，如圖所示，
  cosα=

R

2R

=

1

2

，則：α=60°
能觀測到地球表面赤道的最大長度L_BC=

2πR

3

答：
（1）探測衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動時的軌道半徑為

3	GMT2 4π2

；
（2）探測衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動時的速度大小為

3	2πGM T

；
（3）能觀測到地球表面赤道的最大長度為

2πR

3

．

點(diǎn)評：探測衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動，關(guān)鍵是萬有引力提供向心力列出等式求解．