Question

11．如圖，在0≤x≤$\sqrt{3}$a區(qū)域內(nèi)存在與xy平面垂直的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感強(qiáng)強(qiáng)度的大小為B．在t=0時(shí)刻，一位于坐標(biāo)原點(diǎn)的粒子源在xy平面內(nèi)發(fā)射出大量同種帶電粒子，所有粒子的初速度大小相同，方向與y軸正方向的夾角分布在0-180°范圍內(nèi)．已知沿y軸正方向發(fā)射的粒子在t=t₀時(shí)刻剛好從磁場(chǎng)邊界上P（$\sqrt{3}$a，a）點(diǎn)離開磁場(chǎng)．求：
（1）粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑R及粒子的比荷$\frac{q}{m}$；
（2）此時(shí)刻仍在磁場(chǎng)中的粒子的初速度方向與y軸正方向夾角的取值范圍；
（3）從粒子發(fā)射到全部粒子離開磁場(chǎng)所用的時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）由幾何關(guān)系可確定粒子飛出磁場(chǎng)所用到的時(shí)間及半徑，再由洛侖茲力充當(dāng)向心力關(guān)系，聯(lián)立可求得荷質(zhì)比；
（2）由幾何關(guān)系可確定仍在磁場(chǎng)中的粒子位置，則可由幾何關(guān)系得出夾角范圍；
（3）最后飛出的粒子轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角應(yīng)為最大，由幾何關(guān)系可知，其軌跡應(yīng)與右邊界相切，則由幾何關(guān)系可確定其對(duì)應(yīng)的圓心角，則可求得飛出的時(shí)間．

解答 解：（1）初速度與y軸方向平行的粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖1中的弧OP所示，其圓心為C．由幾何關(guān)系可知，∠POC=30°；
△OCP為等腰三角形，故
∠OCP=$\frac{2π}{3}$   ①
此粒子飛出磁場(chǎng)所用的時(shí)間為
t₀=$\frac{T}{3}$        ②
式中T為粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的周期．
設(shè)粒子運(yùn)動(dòng)速度的大小為v，半徑為R，由幾何關(guān)系可得
R=$\frac{2}{3}\sqrt{3}$a      ③
由洛侖茲力公式和牛頓第二定律有
qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$     ④
T=$\frac{2πR}{v}$      ⑤
聯(lián)立②③④⑤解得：
$\frac{q}{m}$=$\frac{2π}{3B{t}_{0}}$     ⑥
（2）仍在磁場(chǎng)中的粒子其圓心角一定大于120°，這樣粒子角度最小時(shí)從磁場(chǎng)右邊界穿出；角度最大時(shí)從磁場(chǎng)左邊界穿出．依題意，所有粒子在磁場(chǎng)中已經(jīng)轉(zhuǎn)動(dòng)的時(shí)間相同，則轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角相同，故弦長(zhǎng)相等；同一時(shí)刻仍在磁場(chǎng)內(nèi)的粒子到O點(diǎn)距離相同．在t₀時(shí)刻仍在磁場(chǎng)中的粒子應(yīng)位于以O(shè)點(diǎn)為圓心、OP為半徑的弧$\widehat{MN}$上．（$\widehat{MN}$只代表初速度與y軸正方向?yàn)?0度時(shí)粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡）如圖所示．
設(shè)此時(shí)位于P、M、N三點(diǎn)的粒子的初速度分別為v_P、v_M、v_N．由對(duì)稱性可知v_P與OP、v_M與OM、v_N與ON的夾角均為60°．
設(shè)v_M、v_N與y軸正向的夾角分別為θ_M、θ_N，由幾何關(guān)系有θ_M=$\frac{π}{3}$ ⑦
θ_N=$\frac{2}{3}π$ ⑧
對(duì)于所有此時(shí)仍在磁場(chǎng)中的粒子，其初速度與y軸正方向所成的夾角θ應(yīng)滿足：
$\frac{π}{3}$≤θ≤$\frac{2}{3}π$
（3）在磁場(chǎng)中飛行時(shí)間最長(zhǎng)的粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡應(yīng)與磁場(chǎng)右邊界相切，其軌跡如圖2所示．由幾何關(guān)系可知：

OM=OP
由對(duì)稱性可知
ME=OP
由圖可知，圓的圓心角為240°，從粒子發(fā)射到全部粒子飛出磁場(chǎng)所用的時(shí)間2t₀；
答：（1）粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑R及粒子的比荷$\frac{q}{m}$為$\frac{2π}{3B{t}_{0}}$；
（2）此時(shí)刻仍在磁場(chǎng)中的粒子的初速度方向與y軸正方向夾角的取值范圍為：$\frac{π}{3}$≤θ≤$\frac{2}{3}π$；
（3）從粒子發(fā)射到全部粒子離開磁場(chǎng)所用的時(shí)間為2t₀．

點(diǎn)評(píng) 本題考查帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，解題的關(guān)鍵在于確定圓心和半徑，并能根據(jù)幾何關(guān)系確定可能的運(yùn)動(dòng)軌跡