Question

13．如圖所示，在坐標系xOy內有一半徑為a的圓形區(qū)域，圓心坐標為O₁（a，0），圓內分布有垂直紙面向里的勻強磁場．在直線y=a的上方和直線x=2a的左側區(qū)域內，有一沿y軸負方向的勻強電場，場強大小為E．一質量為m、電荷量為+q（q＞0）的粒子以速度v從O點垂直于磁場方向射入，當速度方向沿x軸正方向時，粒子恰好從O₁點正上方的A點射出磁場，不計粒子重力．
（1）求磁感應強度B的大小；
（2）速度方向沿x軸正方向的粒子在第一象限內運動到最高點時的位置坐標；
（3）若粒子以速度v從O點垂直于磁場方向射入第一象限，當速度方向沿x軸正方向的夾角θ=30°時，求粒子從射入磁場到最終離開磁場的時間t．

Answer 1

分析 （1）根據幾何關系先得到圓心、半徑，再根據洛倫茲力提供向心力列式求解；
（2）粒子離開磁場后，進入電場，根據動能定理列式求解；
（3）粒子在磁場中做圓周運動，先得到第一次圓心和射出點，進入電場后，又沿原路返回，再得到第二次圓心和射出點，最后得到總時間．

解答 解：（1）設粒子在磁場中做圓運動的軌跡半徑為R，牛頓第二定律
有 $qvB=m\frac{{v}^{2}}{R}$，
粒子自A點射出，由幾何知識  R=a，
解得B=$\frac{mv}{qa}$．
（2）粒子從A點向上在電場中做勻減運動，設在電場中減速的距離為y₁
由$-qE{y}_{1}=0-\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
得${y}_{1}=\frac{m{v}^{2}}{2qE}$．
所以在電場中最高點的坐標為（a，$a+\frac{m{v}^{2}}{2qE}$）  
（3）粒子在磁場中做圓運動的周期  T=$\frac{2πa}{v}$，
粒子從磁場中的P點射出，因磁場圓和粒子的軌跡圓的半徑相等，OO₁PO₂構成菱形，故粒子從P點的出射方向與y軸平行，粒子由O到P所對應的圓心角為θ₁=60°
由幾何知識可知，粒子由P點到x軸的距離
S=acosθ，
粒子在電場中做勻變速運動，在電場中運動的時間${t}_{1}=\frac{2mv}{qE}$，
粒子由P點第2次進入磁場，由Q點射出，PO₁QO₃ 構成菱形，由幾何知識可知Q點在x軸上，粒子由P到Q的偏向角為θ₂=120°  
則θ₁+θ₂=π  
粒子先后在磁場中運動的總時間${t}_{2}=\frac{T}{2}$，
粒子在場區(qū)之間做勻速運動的時間 ${t}_{3}=\frac{2（a-S）}{v}$，
解得粒子從射入磁場到最終離開磁場的時間
t=t₁+t₂+t₃=$\frac{（2+π-\sqrt{3}）a}{v}+\frac{2mv}{qE}$．
答：（1）磁感應強度B的大小為$\frac{mv}{qa}$．
（2）速度方向沿x軸正方向的粒子在第一象限內運動到最高點時的位置坐標為（a，$a+\frac{m{v}^{2}}{2qE}$）
（3）粒子從射入磁場到最終離開磁場的時間為$\frac{（2+π-\sqrt{3}）a}{v}+\frac{2mv}{qE}$．

點評 本題關鍵先確定圓心、半徑，然后根據洛倫茲力提供向心力列式求解；第三問關鍵先根據題意，分析后畫出物體的運動軌跡，然后再列式計算．