Question

1．如圖所示，在光滑的水平地面上，質(zhì)量為M=3.0kg的長木板A的左端，疊放著一個質(zhì)量為m=1.0kg的小物塊B（可視為質(zhì)點），處于靜止?fàn)顟B(tài)，小物塊與木板之間的動摩擦因數(shù)μ=0.30．在木板A的左端正上方，用長為R=0.80m不可伸長的輕繩將質(zhì)量也為m的小球C懸于固定點O．現(xiàn)將小球C拉至上方與水平方向成θ=30⁰角的位置，由靜止釋放．在將繩拉直的瞬間，小球C沿繩方向的分速度立刻減為零，而沿切線方向的分速度不變．此后，小球C與B恰好發(fā)生正碰且無機械能損失．空氣阻力不計，取g=10m/s²．求：木板長度L至少為多大時小物塊才不會滑出木板？

Answer 1

分析 先由動能定理求出小球被拉直時的速度，然后小球沿圓周方向的速度為v₀cosθ，運用動能定理列式求出最低點速度，再由動量守恒求出碰后滑塊的速度，然后由機械能守恒列方程求出L．

解答 解：靜止釋放后小球做自由落體運動到B點，繩被拉緊后再繞O點向下做圓周運動，如圖所示．小球下落的高度為R而將繩拉直，
由機械能守恒定律得：mgR=$\frac{1}{2}$mv₀²    
小球下落到B點時沿圓周方向的速度為：v_B=v₀cosθ
小球由B點運動到最低點C點過程中機械能守恒則：$\frac{1}{2}$mv_B²+mgR（1-sinθ）=$\frac{1}{2}$mv_c²
小球與B碰撞過程中遵守動量和機械能兩個守恒，選取向右為正方向，則
mv_c=mv₁+mv₂ 
$\frac{1}{2}$mv_c²=$\frac{1}{2}$mv₁²+$\frac{1}{2}$mv₂²
解得：v₁=0，v₂=v_C=$\sqrt{\frac{5gR}{2}}$，碰撞后小球與B交換速度
B在木板A上滑動，系統(tǒng)動量守恒，設(shè)B滑到木板A最右端時速度為v，則mv_c=（m+M）v
B在木板A上滑動的過程中，系統(tǒng)減小的機械能轉(zhuǎn)化為熱能，由能量守恒定律得　μmgL=$\frac{1}{2}$mv_c²-$\frac{1}{2}$（m+M）v² 　
聯(lián)立解得L=$\frac{M}{2μg（m+M）}$$\sqrt{\frac{5gR}{2}}$ 
代入數(shù)據(jù)解得L=2.5m
答：木板長度L至少為2.5m時小物塊才不會滑出木板．

點評 本題考查了機械能守恒、速度的合成與分解、動量守恒以及能量守恒的應(yīng)用，綜合性較強，有一定難度．