Question

12．如圖甲所示，以O(shè)為原點(diǎn)建立Oxy平面直角坐標(biāo)系．兩平行極板P、Q垂直于y軸且關(guān)于x軸對(duì)稱放置，極板長(zhǎng)度和極板間距均為l，第一、四象限有方向垂直于Oxy平面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．緊靠極板左側(cè)的粒子源沿x軸向右連續(xù)發(fā)射帶電粒子，已知粒子的質(zhì)量為m、電荷量為+q、速度為v₀、重力忽略不計(jì)，兩板間加上如圖乙所示的掃描電壓（不考慮極板邊緣的影響）．帶電粒子恰能全部射入磁場(chǎng)．每個(gè)粒子穿過(guò)平行板的時(shí)間極短，穿越過(guò)程可認(rèn)為板間電壓不變；不考慮粒子間的相互作用．

（1）求掃描電壓的峰值U₀的大�。�
（2）已知射入磁場(chǎng)的粒子恰好全部不再返回板間，勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B應(yīng)為多少？所有帶電粒子中，從粒子源發(fā)射到離開磁場(chǎng)的最短時(shí)間是多少？

Answer 1

分析 （1）粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，由題意可知，粒子的運(yùn)動(dòng)情況，根據(jù)運(yùn)動(dòng)的合成與分解可求得的加電壓的峰值；
（2）粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)，由洛侖茲力充當(dāng)向心力以及幾何關(guān)系可求得磁感應(yīng)強(qiáng)度；
（3）粒子從上邊緣飛出時(shí)時(shí)間最短，則由運(yùn)動(dòng)過(guò)程可求得各段內(nèi)所經(jīng)歷的時(shí)間，則可求得總時(shí)間．

解答 解：（1）所加掃描電壓達(dá)到峰值時(shí)，粒子在電場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)位移為$\frac{l}{2}$，
粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)加速度為a=$\frac{q{U}_{0}}{ml}$，時(shí)間為t=$\frac{l}{{v}_{0}}$ 
在電場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)位移 y=$\frac{1}{2}$at²=$\frac{q{U}_{0}l}{2m{v}_{0}^{2}}$=$\frac{l}{2}$ 
故所加掃描電壓的峰值為 U₀=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{q}$
（2）設(shè)粒子從電場(chǎng)射出時(shí)的速度偏轉(zhuǎn)角為θ，射入磁場(chǎng)時(shí)的速度為v=$\frac{{v}_{0}}{cosθ}$
粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，洛倫茲力提供向心力qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$  
粒子在磁場(chǎng)中射入與射出點(diǎn)間的距離為△y=2Rcosθ 
聯(lián)立得△y=$\frac{2m{v}_{0}}{qB}$，即所有粒子在磁場(chǎng)中射入與射出點(diǎn)間距離相同
依題意，從下邊緣射出電場(chǎng)的粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)后剛好到達(dá)電場(chǎng)上邊緣，
即△y=l   
故勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B=$\frac{2m{v}_{0}}{ql}$
從電場(chǎng)上邊緣射出的粒子整個(gè)過(guò)程運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短，
粒子速度偏轉(zhuǎn)角正切值tanα=$\frac{at}{{v}_{0}}$=$\frac{q{U}_{0}l}{m{v}_{0}^{2}l}$=1
故α=45° 
粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t₁=$\frac{l}{{v}_{0}}$ 
粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最短時(shí)間為t₁=$\frac{T}{4}$=$\frac{πm}{2qB}$  
故帶電粒子從發(fā)射到離開磁場(chǎng)的最短時(shí)間是t=t₁+t₂=$\frac{l}{{v}_{0}}$（1+$\frac{π}{4}$）  
答：（1）掃描電壓的峰值U₀的大小為$\frac{m{v}_{0}^{2}}{q}$；
（2）已知射入磁場(chǎng)的粒子恰好全部不再返回板間，勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B應(yīng)為$\frac{2m{v}_{0}}{ql}$；所有帶電粒子中，從粒子源發(fā)射到離開磁場(chǎng)的最短時(shí)間是$\frac{m{v}_{0}^{2}}{q}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查帶電粒子在電場(chǎng)和磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，要注意認(rèn)真審題，明確題意才能正確分析物理過(guò)程，進(jìn)而確定正確的物理規(guī)律求解！如本題中明確說(shuō)明通過(guò)時(shí)間極短，粒子通過(guò)時(shí)電場(chǎng)不變，故粒子即可不同電壓下進(jìn)行加速！