Question

10．在豎直平面內，有正方形導線框ABCD和abcd的邊長均為l、電阻均為R，質量分別為2m和m，它們用一根細線連接跨在兩個光滑定滑輪的兩邊，在兩導線框之間有一有界勻強磁場，寬度為2l、磁感應強度大小為B、方向垂直豎直面向里．開始時ABCD的下邊與勻強磁場的上邊界重合，abcd的上邊到勻強磁場的下邊界的距離為l．現(xiàn)將系統(tǒng)由靜止釋放，當ABCD剛全部進入磁場時，系統(tǒng)開始做勻速運動，不計摩擦和空氣阻力，求：
（1）系統(tǒng)勻速運動的速度大小；
（2）兩線框從開始運動至等高的過程中所產生的總焦耳熱；
（3）線框abcd通過磁場的時間．

Answer 1

分析 （1）當ABCD剛全部進入磁場時，系統(tǒng)開始做勻速運動，分別對兩線框列平衡方程，可得abcd框安培力大小，繼而求得感應電流大小，根據(jù)歐姆定律和法拉第電磁感應定律可得系統(tǒng)勻速運動的速度大小
（2）當左、右兩線框分別向上、向下運動2l的距離時，兩線框等高，根據(jù)能量守恒得，系統(tǒng)機械能的減少等于產生的總焦耳熱
（3）由題意可知，線框abcd通過磁場時始終以速度v勻速運動，由運動距離及速度大小可得時間

解答 解：（1）如圖所示，設兩線框剛勻速運動的速度為v，此時輕繩上的張力為T，則對ABCD，有
T=2mg    
對abcd，有T=mg+BIl    ①
I=$\frac{E}{R}$
E=Blv                   ②
則v=$\frac{mgR}{{B}^{2}{l}^{2}}$                ③
（2）設兩線框從開始運動至等高的過程中所產生的焦耳熱為Q，當左、右兩線框分別向上、向下運動2l的距離時，
兩線框等高，對這一過程，由能量守恒定律，得
4mgl=2mgl+$\frac{1}{2}$×3mv²+Q    ④
聯(lián)立③④解得Q=2mgl-$\frac{3{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}}{2{B}^{4}{l}^{4}}$．
（3）線框abcd通過磁場時以速度v勻速運動，設線框abcd通過磁場的時間為t，
則t=$\frac{3l}{v}$     ⑤
聯(lián)立③⑤解得t=$\frac{3{B}^{2}{l}^{3}}{mgR}$．
答：（1）系統(tǒng)勻速運動的速度大小為$\frac{mgR}{{B}^{2}{l}^{2}}$；
（2）兩線框從開始運動至等高的過程中所產生的總焦耳熱為2mgl-$\frac{3{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}}{2{B}^{4}{l}^{4}}$．
（3）線框abcd通過磁場的時間為$\frac{3{B}^{2}{l}^{3}}{mgR}$．

點評 本題是電磁感應中的力學問題，安培力的計算和分析能量如何轉化是解題關鍵，要加強訓練，熟練掌握法拉第定律、歐姆定律、安培力等等基礎知識，提高解題能力．