Question

18．如圖所示，一個(gè)矩形線圈的ab、cd邊長(zhǎng)為L(zhǎng)₁，ad、bc邊長(zhǎng)為L(zhǎng)₂，線圈的匝數(shù)為N，線圈處于磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，并以O(shè)O′為中軸做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，（OO′與磁場(chǎng)方向垂直，線圈電阻不計(jì)），線圈轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為ω，設(shè)轉(zhuǎn)動(dòng)從中性面開始計(jì)時(shí)，請(qǐng)回答下列問題：
（1）寫出該線圈產(chǎn)生交流電的電動(dòng)勢(shì)隨時(shí)間變化的表達(dá)式．
（2）將線圈產(chǎn)生的交流電通入電阻為R的電動(dòng)機(jī)時(shí)，形成的電流有效值為I，請(qǐng)計(jì)算該電動(dòng)機(jī)的輸出的機(jī)械功率（其它損耗不計(jì)）．
（3）用此電動(dòng)機(jī)將豎直固定的光滑U型金屬框架上的水平導(dǎo)體棒EF從靜止向上拉，已知導(dǎo)體棒的質(zhì)量為m，U型金屬框架寬為L(zhǎng)且足夠長(zhǎng)，內(nèi)有垂直向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B₀，導(dǎo)體棒上升高度為h時(shí)，經(jīng)歷的時(shí)間為t，且此時(shí)導(dǎo)體棒剛開始勻速上升且速度為v₀，棒有效電阻為R₀，金屬框架的總電阻不計(jì)，棒與金屬框架接觸良好，求t時(shí)間內(nèi)導(dǎo)體棒與金屬框架產(chǎn)生的焦耳熱．

Answer 1

分析 （1）矩形線圈的ab、cd切割磁感線，根據(jù)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)公式e=BLvsinα推導(dǎo)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)瞬時(shí)值表達(dá)式．
（2）根據(jù)能量守恒定律得到：電動(dòng)機(jī)的輸出的機(jī)械功率P_機(jī)=P_入-P_Q=UI-I²R，U是電壓有效值．
（3）①電機(jī)帶導(dǎo)體棒勻速上升時(shí)，電動(dòng)機(jī)的牽引力與導(dǎo)體棒的重力和安培力的合力平衡，推導(dǎo)導(dǎo)體棒勻速上升時(shí)的速度和已知量的關(guān)系式．
②對(duì)導(dǎo)體棒，電動(dòng)機(jī)牽引力做正功，安培力和重力做負(fù)功，根據(jù)動(dòng)能定理列方程，求出導(dǎo)體棒克服安培力做的功，即導(dǎo)體棒與金屬框架產(chǎn)生的焦耳熱．

解答 解：
（1）
如圖所示，邊長(zhǎng)L₁切割磁感線產(chǎn)生電動(dòng)勢(shì)
e₁=BL₁V_⊥=BL₁Vsinωt
而線速度V=$\frac{{L}_{2}ω}{2}$
則e₁=BL₁$\frac{{L}_{2}ω}{2}$sinωt
因有線圈兩個(gè)邊切割，且有N匝
所以e=2Ne₁=NBL₁L₂ωsinωt
即：e=E_msinωt，其中E_m=NBL₁L₂ω．
（2）電流通過電動(dòng)機(jī)時(shí)，輸入的功率
P_入=UI=$\frac{NB{L}_{1}{L}_{2}ω}{\sqrt{2}}$I
由能量守恒知：
P_入=P_Q+P_機(jī)
∴機(jī)械功率P_機(jī)=$\frac{NB{L}_{1}{L}_{2}ω}{\sqrt{2}}$I-I²R
（3）①電機(jī)帶導(dǎo)體棒勻速上升．受力如圖
由平衡條件得 F=B₀IL+mg
又I=$\frac{{B}_{0}Lv}{{R}_{0}}$，F(xiàn)=$\frac{P}{v}$
得到$\frac{P}{v}$=mg+$\frac{{B}_{0}^{2}{L}^{2}v}{{R}_{0}}$
即：$\frac{NB{L}_{1}{L}_{2}ω}{\sqrt{2}}$I-I²R=mgv+$\frac{{B}_{0}^{2}{L}^{2}v}{{R}_{0}}$v
②對(duì)上升h應(yīng)用動(dòng)能定理：
Pt-W-mgh=$\frac{1}{2}$mv₀²-0
得 Q=W=Pt-mgh-$\frac{1}{2}$mv₀²
Q=（$\frac{NB{L}_{1}{L}_{2}ω}{\sqrt{2}}$I-I²R）t-mgh-$\frac{1}{2}$mv₀²
答：
（1）證明見上．
（2）電動(dòng)機(jī)的輸出的機(jī)械功率為$\frac{NB{L}_{1}{L}_{2}ω}{\sqrt{2}}$I-I²R．
（3）①導(dǎo)體棒勻速上升時(shí)的速度和已知量的關(guān)系是$\frac{NB{L}_{1}{L}_{2}ω}{\sqrt{2}}$I-I²R=mgv+$\frac{{B}_{0}^{2}{L}^{2}v}{{R}_{0}}$v．
②t時(shí)間內(nèi)導(dǎo)體棒與金屬框架產(chǎn)生的焦耳熱是（$\frac{NB{L}_{1}{L}_{2}ω}{\sqrt{2}}$I-I²R）t-mgh-$\frac{1}{2}$mv₀²

點(diǎn)評(píng) 本題問題較多，所用物理知識(shí)并不復(fù)雜，主要是電磁感應(yīng)、電路、磁場(chǎng)和力學(xué)知識(shí)，只要基本功扎實(shí)，并不困難．要注意明確電磁感應(yīng)中的能量轉(zhuǎn)化的分析．