Question

12．如圖所示，物體A的質(zhì)量為M，圓環(huán)B的質(zhì)量為m，通過繩子連結(jié)在一起，圓環(huán)套在光滑的豎直桿上，開始時(shí)連接圓環(huán)的繩子處于水平，長度l=4m，現(xiàn)從靜止釋放圓環(huán)．不計(jì)定滑輪質(zhì)量與摩擦，空氣的阻力不計(jì)，取g=10m/s²，求：
（1）若圓環(huán)恰能下降h=3m，兩個(gè)物體的質(zhì)量應(yīng)滿足什么關(guān)系？
（2）若圓環(huán)下降h=3m時(shí)的速度v=5m/s，則兩個(gè)物體的質(zhì)量有何關(guān)系？
（3）不管兩個(gè)物體的質(zhì)量為多大，圓環(huán)下降h=3m時(shí)的速度不可能超過多大？（結(jié)果可用根號(hào)表示）

Answer 1

分析 （1）圓環(huán)下降過程中，圓環(huán)與A組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，由此可得質(zhì)量關(guān)系式，進(jìn)而由幾何關(guān)系分析AB的位移關(guān)系，可得兩物體的質(zhì)量關(guān)系．
（2）由圓環(huán)與A組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，結(jié)合可得此時(shí)AB速度關(guān)系，可得質(zhì)量關(guān)系．
（3）當(dāng)m＞＞M時(shí)可認(rèn)為B下落過程機(jī)械能守恒，此時(shí)B的速度為其下降速度的極限值，由機(jī)械能守恒可得最終速度．

解答 解：（1）若圓環(huán)恰好能下降h=3m，由機(jī)械能守恒定律得：
  mgh=Mgh_A，
由幾何關(guān)系可得：
 h²+l²=$（l+{h}_{A}）^{2}$
解得兩個(gè)物體的質(zhì)量應(yīng)滿足關(guān)系  M=3m
（2）若圓環(huán)下降h=3m時(shí)的速度v=5m/s，由機(jī)械能守恒定律得：
  mgh=Mgh_A+$\frac{1}{2}m{v}^{2}$+$\frac{1}{2}M{v}_{A}^{2}$
如圖所示，A、B的速度關(guān)系為：v_A=vcosθ=v$\frac{h}{\sqrt{{h}^{2}+{l}^{2}}}$

解得兩個(gè)物體的質(zhì)量關(guān)系為  $\frac{M}{m}$=$\frac{35}{29}$
（3）B的質(zhì)量比A的大得越多，圓環(huán)下降h=3m時(shí)的速度越大，當(dāng)m＞＞M時(shí)可認(rèn)為B下落過程機(jī)械能守恒，有 mgh=$\frac{1}{2}m{v}_{m}^{2}$  
解得圓環(huán)的最大速度  v_m=$\sqrt{60}$m/s=7.75m/s
即圓環(huán)下降h=3m時(shí)的速度不可能超過7.75m/s．
答：
（1）若圓環(huán)恰能下降h=3m，兩個(gè)物體的質(zhì)量應(yīng)滿足的關(guān)系是M=3m．
（2）若圓環(huán)下降h=3m時(shí)的速度v=5m/s，則兩個(gè)物體的質(zhì)量的關(guān)系是 $\frac{M}{m}$=$\frac{35}{29}$．
（3）不管兩個(gè)物體的質(zhì)量為多大，圓環(huán)下降h=3m時(shí)的速度不可能超過7.75m/s．

點(diǎn)評(píng) 該題的關(guān)鍵是用好系統(tǒng)機(jī)械能守恒這個(gè)知識(shí)點(diǎn)；難點(diǎn)是對于B的速度極限值的判斷，其條件是m＞＞M，即A的質(zhì)量可以忽略，認(rèn)為B的機(jī)械能守恒．