Question

12．如圖所示，在一、二象限內(nèi)-R≤x≤R范圍內(nèi)有豎直向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)E，電場(chǎng)的上邊界方程為y=$\frac{{x}^{2}}{2R}$，在三、四象限內(nèi)存在垂直于紙面向外，邊界方程為x²+y²=R²的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，現(xiàn)在第一象限中電場(chǎng)的上邊界有許多質(zhì)量為m，電量為q的正離子，在y=$\frac{R}{2}$處有一熒光屏，當(dāng)正離子達(dá)到熒光屏?xí)r會(huì)發(fā)光且被吸收，不計(jì)重力和離子間相互作用力，不考慮電場(chǎng)和磁場(chǎng)的邊界效應(yīng)．
（1）求在x（0＜x＜R）處釋放的離子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度；
（2）若同時(shí)將離子由靜止釋放，要保證釋放一段時(shí)間內(nèi)發(fā)現(xiàn)位于-R＜x＜0的熒光屏有亮點(diǎn)，求磁感應(yīng)強(qiáng)度B所需要滿足的條件；
（3）若僅讓橫坐標(biāo)x=$\frac{R}{3}$的離子釋放，它最后能經(jīng)過點(diǎn)（-R，0），求離子從釋放到點(diǎn)（-R，0）所需時(shí)間t．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)動(dòng)能定理求出粒子經(jīng)電場(chǎng)加速度后獲得的速度，即進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度．
（2）粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)半徑公式求出粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑，當(dāng)x=2r時(shí)，所有離子都從原點(diǎn)（0，0）點(diǎn)出磁場(chǎng)，擊中熒光屏上（0，$\frac{1}{2}R$），當(dāng)x=r時(shí)，屏幕上恰好沒有發(fā)光點(diǎn)，根據(jù)半徑公式求出磁感應(yīng)強(qiáng)度B所需要滿足的條件；
（3）先由第一問的結(jié)論求出x=$\frac{R}{3}$處的離子釋放后獲得的速度，然后運(yùn)動(dòng)學(xué)公式和牛頓第二定律求出從釋放到經(jīng)過點(diǎn)（R，0）所需時(shí)間t．

解答 解：（1）于x處釋放離子，由動(dòng)能定理得：
$qE\frac{1}{2R}{x}^{2}=\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
得離子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度為：
$v=\sqrt{\frac{qE}{mR}}x$．
（2）在磁場(chǎng)中有：$qvB=m\frac{{v}^{2}}{r}$，
所以運(yùn)動(dòng)半徑為：r=$\frac{mv}{qB}=\frac{1}{B}\sqrt{\frac{mE}{qR}}x$．
當(dāng)x=2r時(shí)，所有離子都從原點(diǎn)（0，0）點(diǎn)出磁場(chǎng)，擊中熒光屏上（0，$\frac{1}{2}R$），
因?yàn)?qv{B}_{1}=m\frac{{v}^{2}}{r}$，
所以有：${B}_{1}=\frac{mv}{qr}=2\sqrt{\frac{Em}{qR}}$．
同理，當(dāng)x=r時(shí)，屏幕上恰好沒有發(fā)光點(diǎn)，此刻有：B₂=$\sqrt{\frac{Em}{qR}}$．
所以應(yīng)該滿足：$\sqrt{\frac{Em}{qR}}＜B＜2\sqrt{\frac{Em}{qR}}$．
（3）由（1）得在$x=\frac{R}{3}$處釋放的離子到達(dá)x軸時(shí)速度為：$v=\frac{1}{3}\sqrt{\frac{EqR}{m}}$
從釋放到到達(dá)x軸時(shí)間為：${t}_{1}=\frac{v}{a}=\frac{\frac{1}{3}\sqrt{\frac{qER}{m}}}{\frac{qE}{m}}=\frac{1}{3}\sqrt{\frac{mR}{qE}}$．
a）第一種情況：離子直接從x=$\frac{R}{3}$經(jīng)磁場(chǎng)達(dá)x=-R處．
在磁場(chǎng)中經(jīng)歷半圓時(shí)間為：${t}_{2}=\frac{s}{v}=\frac{\frac{π}{2}（R+\frac{R}{3}）}{v}=2π\(zhòng)sqrt{\frac{mR}{qE}}$．
總時(shí)間為：${T}_{1}={t}_{1}+{t}_{2}=（2π+\frac{1}{3}）\sqrt{\frac{mR}{qE}}$．
b）第二種情況：離子直接從x=R/3經(jīng)磁場(chǎng)達(dá)x=-R/3處進(jìn)入電場(chǎng)返回磁場(chǎng)再到x=-R處
易得在磁場(chǎng)中時(shí)間仍然為：${t}_{2}=2π\(zhòng)sqrt{\frac{mR}{qE}}$，
在電場(chǎng)中時(shí)間為：$3{t}_{1}=\sqrt{\frac{mR}{qE}}$，
總時(shí)間為：${T}_{2}=3{t}_{1}+{t}_{2}=（2π+1）\sqrt{\frac{mR}{qE}}$．
答：（1）在x（0＜x＜R）處釋放的離子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度為$\sqrt{\frac{qE}{mR}}x$．
（2）磁感應(yīng)強(qiáng)度B所需要滿足的條件為$\sqrt{\frac{Em}{qR}}＜B＜2\sqrt{\frac{Em}{qR}}$．
（3）離子從釋放到點(diǎn)（-R，0）所需時(shí)間為$（2π+\frac{1}{3}）\sqrt{\frac{mR}{qE}}$，或$（2π+1）\sqrt{\frac{mR}{qE}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題中電場(chǎng)的區(qū)域邊界是數(shù)學(xué)解析式的表達(dá)方式，設(shè)計(jì)新穎，學(xué)習(xí)中應(yīng)該注意數(shù)學(xué)思想在物理中的應(yīng)用．