Question

3．為了進行有關測量和探究，向某行星發(fā)射一顆質(zhì)量為m的衛(wèi)星，繞該行星做勻速圓周運動，測得行星半徑為R，衛(wèi)星距離行星表面為R，周期T，已知引力常量為G，求：
（1）該行星的質(zhì)量；
（2）該行星表面處的重力加速度；
（3）該行星的第一宇宙速度．

Answer 1

分析 （1）由萬有引力提供向心力的周期表達式可以得到行星的質(zhì)量．
（2）行星表面萬有引力等于重力，可得該行星表面處的重力加速度．
（3）由v=$\sqrt{gR}$可得該行星的第一宇宙速度．

解答 解：（1）由萬有引力提供向心力的周期表達式可得：
$G\frac{Mm}{（2R）^{2}}=m•2R•\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$，
解得：$M=\frac{32{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}$．
（2）行星表面萬有引力等于重力，可得：
$G\frac{Mm}{R}=mg$，
解得：g=$\frac{32{π}^{2}{R}^{2}}{{T}^{2}}$．
（3）由v=$\sqrt{gR}$可得該行星的第一宇宙速度：
$v=\sqrt{\frac{32{π}^{2}{R}^{2}}{{T}^{2}}•R}=\frac{4πR}{T}\sqrt{R}$．
答：（1）該行星的質(zhì)量$\frac{32{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}$；
（2）該行星表面處的重力加速度$\frac{32{π}^{2}{R}^{2}}{{T}^{2}}$；
（3）該行星的第一宇宙速度$\frac{4πR}{T}\sqrt{R}$．

點評 該題的關鍵是利用好萬有引力提供向心力的周期表達式，掌握好第一宇宙速度表達式，三個宇宙速度中，只有第一宇宙速度會要求計算．