Question

如圖所示，兩根相距為d足夠長(zhǎng)的光滑平行金屬導(dǎo)軌位于水平的xOy平面內(nèi)，導(dǎo)軌與x軸平行，左端接有阻值為R的電阻．在x＞0的一側(cè)存在豎直向下的磁場(chǎng)，金屬棒質(zhì)量為m，電阻為r，與金屬導(dǎo)軌垂直放置，且接觸良好．開(kāi)始時(shí)，金屬棒位于x=0處，現(xiàn)給金屬棒一大小為v₀、方向沿x軸正方向的初速度，金屬棒沿導(dǎo)軌滑動(dòng)，金屬導(dǎo)軌電阻可忽略不計(jì)．問(wèn)：
（1）金屬棒滑行過(guò)程中安培力對(duì)金屬棒做的功和電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱；
（2）若導(dǎo)軌間的磁場(chǎng)是勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，導(dǎo)體棒最終在導(dǎo)軌上靜止時(shí)的坐標(biāo)x₁；
（3）若導(dǎo)軌間的磁場(chǎng)是非勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B沿x軸正方向增加，且大小滿足B²=kx，導(dǎo)體棒最終在導(dǎo)軌上靜止時(shí)的坐標(biāo)x₂．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)動(dòng)能定理求出金屬棒滑行過(guò)程中安培力對(duì)金屬棒做功的大小，抓住克服安培力做功等于整個(gè)回路產(chǎn)生的熱量求出電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱．
（2）根據(jù)切割產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，結(jié)合閉合電路歐姆定律以及安培力的大小公式求出安培力的大小，根據(jù)牛頓第二定律求出加速度，結(jié)合微分的思想求出導(dǎo)體棒最終在導(dǎo)軌上靜止時(shí)滑行的距離．
（3）將B²=kx代入微分表達(dá)式，采用微分的思想求出導(dǎo)體棒最終在導(dǎo)軌上靜止時(shí)的坐標(biāo)x₂．

解答：解：（1）根據(jù)動(dòng)能定理得，安培力做功w=-

1

2

m

v

2 0

克服安培力做功等于整個(gè)回路產(chǎn)生的熱量，則Q=

1

2

m

v

2 0

 所以電阻R上產(chǎn)生的熱量QR=

R

r+R

Q=

Rm v 2 0

2(R+r)

．
（2）切割產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E=Bdv
安培力F=IdB=

B2d2v

R+r

根據(jù)牛頓第二定律得，a=

F

m

△v=a△t
∑△v=∑

B2d2v

(R+r)m

△t=∑

B2d2

(R+r)m

△x
解得x1=

mv0(R+r)

B2d2

（3）將B²=kx代入得，∑△v=∑

B2d2v

(R+r)m

△t=∑

d2

(R+r)m

kx△x
v0=

d2

(R+r)m

∑kx△x=

d2

(R+r)m

×

1

2

k

x

2 2

解得x2=

2mv0(R+r) kd2

．
答：（1）金屬棒滑行過(guò)程中安培力對(duì)金屬棒做的功為-

1

2

mv02，電阻R上產(chǎn)生的熱量為

Rm v 2 0

2(R+r)

．
（2）導(dǎo)體棒最終在導(dǎo)軌上靜止時(shí)的坐標(biāo)x1=

mv0(R+r)

B2d2

．
（3）導(dǎo)體棒最終在導(dǎo)軌上靜止時(shí)的坐標(biāo)x2=

2mv0(R+r) kd2

．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了切割產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)、牛頓第二定律、閉合電路歐姆定律等知識(shí)，綜合性強(qiáng)，對(duì)數(shù)學(xué)能力的要求較高，是一道難題．