Question

17．如圖所示的xOy坐標(biāo)系中，Y軸右側(cè)空間存在范圍足夠大的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于xOy平面向外．Q_l、Q₂兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（0，L）、（0，-L），坐標(biāo)為（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$L，0）處的C點(diǎn)固定一平行于y軸放置的絕緣彈性擋板，C為擋板中點(diǎn)．帶電粒子與彈性絕緣擋板碰撞前后，沿y軸方向分速度不變，沿x軸方向分速度反向，大小不變．現(xiàn)有質(zhì)量為m，電量為+q的粒子，在P點(diǎn)沿PQ₁方向進(jìn)入磁場(chǎng)，α=30°，不計(jì)粒子重力．
（1）若粒子從點(diǎn)Q₁直接通過點(diǎn)Q₂，求粒子初速度大�。�
（2）若粒子從點(diǎn)Q₁直接通過點(diǎn)O，求粒子第一次經(jīng)過x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．
（3）若粒子與擋板碰撞兩次并能回到P點(diǎn)，求粒子初速度大小及擋板的最小長度．

Answer 1

分析 （1）作出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡圖，結(jié)合幾何關(guān)系求出粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑，根據(jù)半徑公式求出粒子的速度．
（2）作出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡圖，根據(jù)幾何關(guān)系求出粒子運(yùn)動(dòng)的半徑，通過幾何關(guān)系求出第一次經(jīng)過x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）抓住與擋板碰撞兩次并能回到P點(diǎn)，作出軌跡圖，結(jié)合幾何關(guān)系，運(yùn)用半徑公式進(jìn)行求解．

解答 解：（1）由題意畫出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖甲所示，粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑大小為R₁，由幾何關(guān)系得R₁cos30°=L…（1）
粒子磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，有：$qvB=m\frac{{{v_1}^2}}{R_1}$…（2）
解得：${v_1}=\frac{{2\sqrt{3}qBL}}{3m}$…（3）
（2）由題意畫出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖乙所示，設(shè)其與x軸交點(diǎn)為M，橫坐標(biāo)為x_M，由幾何關(guān)系知：2R₂cos30°=L…（4）
x_M=2R₂sin30°…（5）
則M點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{{\sqrt{3}}}{3}L，0$）…（6）
（3）由題意畫出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖丙所示，
粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑大小為R₃，
偏轉(zhuǎn)一次后在y負(fù)方向偏移量為△y₁，由幾何關(guān)系得：△y₁=2R₃cos30°…（7）
為保證粒子最終能回到P，粒子每次射出磁場(chǎng)時(shí)速度方向與PQ₂連線平行，與擋板碰撞后，速度方向應(yīng)與PQ₁連線平行，每碰撞一次，粒子出進(jìn)磁場(chǎng)在y軸上距離△y₂（如圖中A、E間距）可由題給條件得：
$△{y}_{2}=\frac{2\sqrt{3}L}{3}tan30°$…（8）
當(dāng)粒子只碰二次，其幾何條件是：3△y₁-2△y₂=2L…（9）
解得：${R}_{3}=\frac{10\sqrt{3}L}{27}$…（10）
粒子磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，有：$q{v}_{3}B=m\frac{{{v}_{3}}^{2}}{{R}_{3}}$…（11）
解得：${v_3}=\frac{{10\sqrt{3}qBL}}{27m}$…（12）
擋板的最小長度為：$△L=2{R_3}cos{30°}-\frac{{2\sqrt{3}L}}{3}tan{30°}$…（13）
解得：$△L=\frac{4L}{9}$…（14）
答：（1）粒子初速度大小為$\frac{2\sqrt{3}qBL}{3m}$；
（2）粒子第一次經(jīng)過x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{{\sqrt{3}}}{3}L，0$）
（3）粒子初速度大小為$\frac{10\sqrt{3}qBL}{27m}$，擋板的最小長度為$\frac{4L}{9}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，對(duì)于三小問，關(guān)鍵作出三種粒子的軌跡圖，結(jié)合幾何關(guān)系，運(yùn)用半徑公式進(jìn)行求解，難度較大，對(duì)數(shù)學(xué)幾何的關(guān)系要求較高，需加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練．