Question

17．在直角坐標系xOy中，有一勻強磁場分布在半徑為R的圓內(nèi)，磁感應強度為B，其中OD是圓的直徑，質(zhì)量為m、帶電荷量為q的帶正電粒子，在第二象限中的A點，坐標為A（-l，0.6R），由靜止開始經(jīng)勻強電場加速，沿著與直徑OD平行的方向從P點（圖中未畫）進人磁場，如圖所示，若帶電粒子在磁場中運動的時間是$\frac{πm}{2qB}$，粒子在AP間運動的時間可以忽略不計．求：
（1）勻強電場的電場強度E的大�。�
（2）帶電粒子從A點到偏轉(zhuǎn)出磁場的過程中運動的總時間t．

Answer 1

分析 （1）帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動，由洛倫茲力提供向心力，求出粒子在磁場中運動的半徑的表達式與周期的表達式，結(jié)合題目中的條件與圖中的幾何關(guān)系，即可求出粒子運動的半徑與粒子的速度，然后由動能定理即可求出電場強度；
（2）先求解出粒子做加速運動的時間，然后求出兩段時間的和，得到總時間．

解答 解：（1）帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動，由洛倫茲力提供向心力，則：
$\frac{m{v}^{2}}{r}=qvB$
所以：$r=\frac{mv}{qB}$
粒子運動的周期：T=$\frac{2πr}{v}=\frac{2πm}{qB}$
所以帶電粒子在磁場中運動的時間：t₂=$\frac{πm}{2qB}$=$\frac{1}{4}T$
可知粒子在磁場中偏轉(zhuǎn)的角度為90°，結(jié)合圓周運動的對稱性，所以粒子在磁場中偏轉(zhuǎn)的軌跡如圖：

依題意可知，PD=0.6R
根據(jù)幾何關(guān)系得：$O′D=\sqrt{{R}^{2}-（0.6R）^{2}}=0.8R$；
同時，根據(jù)圓周運動的對稱性可知，O′O″D的連線一定是∠PO″Q的角平分線，而∠PO″Q=90°，所以DO″=DO′=0.8R
所以，粒子在磁場中運動的半徑：r=PO″=PD+DO″=0.6R+0.8R=1.4R
所以粒子進入磁場時的速度：v=$\frac{qBr}{m}=\frac{1.4qBR}{m}$
粒子在電場中運動的過程中電場力做功，由動能定理得：
$qEl=\frac{1}{2}m{v}^{2}$
聯(lián)立得：$E=\frac{m{v}^{2}}{ql}=\frac{1.96q{B}^{2}{R}^{2}}{ml}$
（2）粒子在電場中運動的時間：${t}_{1}=\frac{2l}{v}$=$\frac{2ml}{1.4qBR}$
粒子運動的總時間：t=t₁+t₂=$\frac{2ml}{1.4qBR}$+$\frac{πm}{2qB}$
答：（1）勻強電場的電場強度E的大小是$\frac{1.96q{B}^{2}{R}^{2}}{ml}$；
（2）帶電粒子從A點到偏轉(zhuǎn)出磁場的過程中運動的總時間是$\frac{2ml}{1.4qBR}$+$\frac{πm}{2qB}$．

點評 本題考查了粒子在勻強電場與勻強磁場中的運動，本題的解題關(guān)鍵是明確粒子的運動，畫出軌跡，然后結(jié)合幾何關(guān)系進行分析計算．