Question

7．如圖所示，直流電源的路端電壓U=1.2V，金屬板AB、CD、EF、GH相互平行，彼此靠近．它們分別和變阻器上的觸點(diǎn)a、b、c、d連接．變阻器上ab、bc、cd段電阻之比為1：2：3．孔O₁正對(duì)B和E，孔O₂正對(duì)D和G．邊緣F、H正對(duì)．金屬板間的距離L₁=2cm，L₂=4cm，L₃=6cm．正對(duì)兩極板間可視為勻強(qiáng)電場(chǎng)．在這些金屬板左側(cè)有一水平放置且順時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的傳送帶，傳送帶M、N兩端長(zhǎng)L=2m，傳送帶N端緊挨著AB板且稍低與AB板，傳送帶上方空間存在一水平向右場(chǎng)強(qiáng)E₁=2V/m的勻強(qiáng)電場(chǎng)．現(xiàn)有一質(zhì)量m=1kg、帶電量q=+5C的小物塊（可視為質(zhì)點(diǎn)）從M端以v₀=4m/s的速度滑上傳送帶，小物塊與傳送帶之間動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.2，皮帶不打滑且與小物塊間無(wú)電荷交換．g取10m/s²．求：
（1）各正對(duì)兩極板間的電場(chǎng)強(qiáng)度E；
（2）若傳送帶運(yùn)行速度從0逐漸增大，試討論小物塊從傳送帶M端運(yùn)動(dòng)到N端時(shí)的動(dòng)能E_k與傳送帶的速度v的關(guān)系；
（3）若傳送帶以V=10m/s運(yùn)行，小物塊從皮帶上運(yùn)動(dòng)后緊沿著AB方向從A點(diǎn)進(jìn)入右下方電場(chǎng)，恰好穿過孔O₁和O₂后，從H點(diǎn)離開電場(chǎng)，則四塊金屬板的總長(zhǎng)度“AB+CD+EF+GH”是多少？

Answer 1

分析 （1）各個(gè)板間的電壓之和即為電源的電壓，極板間電壓之比等于ab、bc、cd段電阻之比，且每個(gè)極板間均為勻強(qiáng)電場(chǎng)；
（2）滑塊滑上傳送帶后，如果速度比傳送帶快，則受向后的滑動(dòng)摩擦力；如果速度比傳送帶慢，受到向前的滑動(dòng)摩擦力；根據(jù)動(dòng)能定理列式求解末動(dòng)能即可；
（3）滑塊在右側(cè)電場(chǎng)中做類似平拋運(yùn)動(dòng)，初速度已知，根據(jù)類似平拋運(yùn)動(dòng)的分位移公式列式求解即可．

解答 解：（1）三對(duì)正對(duì)極板間電壓之比U₁：U₂：U₃=R_ab：R_bc：R_cd=1：2：3，
板間距離之比L₁：L₂：L₃=1：2：3
故三個(gè)電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)相等?
E=$\frac{U}{{L}_{1}+{L}_{2}+{L}_{3}}$=$\frac{1.2}{（2+4+6）×1{0}^{-2}}$V/m=10V/C
（2）①當(dāng)皮帶的速度v≤4m/s時(shí)，qE₁＞μmg，則摩擦力對(duì)物塊一直做負(fù)功，有：
$q{E}_{1}L-μmgL={E}_{k}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$ 
解得：
E_k=24J 
②若物塊從M到N，摩擦力一直做正功，有：
$q{E}_{1}L+μmgL={E}_{k}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$ 
解得：E_k=32J
故當(dāng)v≥8m/s時(shí)，物塊的動(dòng)能為32J；
③當(dāng)4m/s＜v＜8m/s時(shí)，設(shè)物塊速度增至與皮帶速度相等時(shí)物塊位移為L(zhǎng)′，有：
$q{E}_{1}L′+μmgL′=\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得：E_k=$\frac{{v}^{2}}{6}+\frac{64}{3}$
（3）傳送帶速度V=10m/s＞8m/s，由第2問討論可知摩擦力一直對(duì)物塊做正功；
則可知帶電物塊離開傳送帶時(shí)E_k=32J=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
即對(duì)應(yīng)此時(shí)物塊以v=8m/s的速度離開傳送帶水平進(jìn)入右邊電場(chǎng)
由第1問知極板間電場(chǎng)是勻強(qiáng)電場(chǎng)，物塊做類似平拋運(yùn)動(dòng)：
豎直方向：a=$\frac{mg+qE}{m}$=$\frac{1×10+5×10}{1}$=60m/s²；
${L}_{1}+{L}_{2}+{L}_{3}=\frac{1}{2}a{t}^{2}$ 
解得：
t=$\sqrt{\frac{2（{L}_{1}+{L}_{2}+{L}_{3}）}{a}}=\frac{\sqrt{10}}{50}s$
水平方向：$x=vt=v\sqrt{\frac{2（{L}_{1}+{L}_{2}+{L}_{3}）}{a}}=\frac{4\sqrt{10}}{25}m$
則四塊金屬板的總長(zhǎng)度：AB+CD+EF+GH+2x=$\frac{8\sqrt{10}}{25}m$≈1.0m
答：（1）各正對(duì)兩極板間的電場(chǎng)強(qiáng)度E均為10V/C；
（2）若傳送帶運(yùn)行速度從0逐漸增大，當(dāng)皮帶的速度v≤4m/s時(shí)，末動(dòng)能為24J；當(dāng)v≥8m/s時(shí)，末動(dòng)能為32J；當(dāng)4m/s＜v＜8m/s時(shí)，末動(dòng)能為$\frac{{v}^{2}}{6}+\frac{64}{3}$J；
（3）四塊金屬板的總長(zhǎng)度“AB+CD+EF+GH”是1.0m．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是明確滑塊的受力情況和運(yùn)動(dòng)情況，結(jié)合動(dòng)能定理、類似平拋運(yùn)動(dòng)的分運(yùn)動(dòng)公式列式求解，不難．