Question

16．如圖所示，處于勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的兩根足夠長(zhǎng)、電阻不計(jì)的光滑平行金屬導(dǎo)軌相距L，導(dǎo)軌平面與水平面成θ角，下端連接阻值為R的電阻．勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直導(dǎo)軌平面向上．質(zhì)量為m、電阻不計(jì)的金屬棒放在兩導(dǎo)軌上，棒與導(dǎo)軌垂直并保持良好接觸，求：（重力加速度大小為g）
（1）若金屬棒沿導(dǎo)軌由靜止開(kāi)始下滑，下滑過(guò)程的最大加速度和最大速度的大小分別為多少？
（2）若從圖示位置給金屬棒一個(gè)平行于斜面向上且與棒垂直的初速度v₀，當(dāng)棒再次回到原位置時(shí)電阻R的電功率為P，求此時(shí)棒的加速度及此過(guò)程電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱分別為多少？

Answer 1

分析 （1）開(kāi)始下滑時(shí)，速度為零，無(wú)感應(yīng)電流產(chǎn)生，因此不受安培力，加速度最大，根據(jù)牛頓第二定律可求解最大加速度．當(dāng)加速度為零時(shí)速度最大，由平衡條件求解最大速度．
（2）當(dāng)棒再次回到原位置時(shí)，由電阻R的電功率為P可求出電路中電流．根據(jù)牛頓第二定律和安培力公式求解加速度．由法拉第電磁感應(yīng)定律和歐姆定律結(jié)合可求出棒回到原位置時(shí)的速度，即可由能量守恒求解熱量．

解答 解：（1）棒剛釋放時(shí)速度零，安培力為零，此時(shí)加速度最大．由牛頓第二定律得
  mgsinθ=ma_m；
解得 a_m=gsinθ
棒釋放后做加速度逐漸減小速度逐漸增大的變加速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)加速度為零時(shí)速度達(dá)到最大，此后棒做勻速運(yùn)動(dòng)．則有
  mgsinθ=F
又安培力 F=BI₁L，I₁=$\frac{{E}_{1}}{R}$=$\frac{BL{v}_{m}}{R}$
聯(lián)立解得最大速度為 v_m=$\frac{mgRsinθ}{{B}^{2}{L}^{2}}$
（2）棒回到原位置時(shí)，有P=I₂²R
由牛頓第二定律得 mgsinθ-BI₂L=ma
解得 a=gsinθ-$\frac{BL}{m}\sqrt{\frac{P}{R}}$
由歐姆定律得 I₂=$\frac{{E}_{2}}{R}$=$\frac{BL{v}_{2}}{R}$
由能量守恒定律得 Q=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$
聯(lián)立解得 Q=$\frac{1}{2}m$（${v}_{0}^{2}$-$\frac{PR}{{B}^{2}{L}^{2}}$）
答：
（1）金屬棒下滑過(guò)程的最大加速度和最大速度的大小分別為gsinθ和$\frac{mgRsinθ}{{B}^{2}{L}^{2}}$．
（2）此時(shí)棒的加速度及此過(guò)程電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱分別為gsinθ-$\frac{BL}{m}\sqrt{\frac{P}{R}}$和$\frac{1}{2}m$（${v}_{0}^{2}$-$\frac{PR}{{B}^{2}{L}^{2}}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了求加速度、速度與磁感應(yīng)強(qiáng)度問(wèn)題，分析清楚運(yùn)動(dòng)過(guò)程、應(yīng)用牛頓第二定律、平衡條件、E=BLv、歐姆定律、電功率公式即可正確解題．