Question

如圖所示，兩塊很大的平行導(dǎo)體板MN、PQ產(chǎn)生豎直向上的勻強(qiáng)電場(chǎng)，兩平行導(dǎo)體板與一半徑為r的單匝線圈連接，在線圈內(nèi)有一方向垂直線圈平面向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度變化率為的勻強(qiáng)磁場(chǎng)B₁。在兩導(dǎo)體板之間還存在有理想邊界的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，勻強(qiáng)磁場(chǎng)分為Ⅰ、Ⅱ兩個(gè)區(qū)域，其邊界為MN、ST、PQ，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B₂，方向如圖所示，Ⅰ區(qū)域高度為d₁，Ⅱ區(qū)域的高度為d₂。一個(gè)質(zhì)量為m、電量為q的帶正電的小球從MN板上方的O點(diǎn)由靜止開(kāi)始下落，穿過(guò)MN板的小孔進(jìn)入復(fù)合場(chǎng)后，恰能做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，Ⅱ區(qū)域的高度d₂足夠大，帶電小球在運(yùn)動(dòng)中不會(huì)與PQ板相碰，重力加速度為g。

(1)求線圈內(nèi)勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度變化率；

(2)若帶電小球運(yùn)動(dòng)后恰能回到O點(diǎn)，求帶電小球釋放時(shí)距MN的高度h；

(3)若帶電小球從距MN的高度為3h的O'點(diǎn)由靜止開(kāi)始下落，為使帶電小球運(yùn)動(dòng)后仍能回到O'點(diǎn)，在磁場(chǎng)方向不改變的情況下對(duì)兩導(dǎo)體板之間的勻強(qiáng)磁場(chǎng)作適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，請(qǐng)你設(shè)計(jì)出兩種方案并定量表示出來(lái)。

   

Answer 1

解：（1）帶電小球進(jìn)入復(fù)合場(chǎng)后恰能做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則電場(chǎng)力與重力平衡，得

                                             (1)

                               (2)

                               (3)

                               (4)

（2）只有小球從進(jìn)入磁場(chǎng)的位置離開(kāi)磁場(chǎng)，做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，才能恰好回到O點(diǎn)，由于兩個(gè)磁場(chǎng)區(qū)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小都相等，所以半徑都為R，由圖可知△O₁O₂O₃是等邊三角形。

                (5)

             (6)

         (7)

解得：            (8)

（3）方案1：改變磁感應(yīng)強(qiáng)度

                               (9)

                            (10)

                             (11)

                                 (12)

將兩板之間的勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度增大為原來(lái)的倍。 

方案2：改變磁場(chǎng)的寬度：

由可知，將磁場(chǎng)I區(qū)的寬度增大為原來(lái)的倍，即= d₁。

磁場(chǎng)II區(qū)的寬度變?yōu)?sub>= d₂d₁                         （13）

方案3：改變磁場(chǎng)邊界：磁場(chǎng)II區(qū)的磁場(chǎng)邊界下移y的距離。

當(dāng)帶電小球從距MN的高度為3h的O'點(diǎn)由靜止開(kāi)始下落時(shí)，應(yīng)有

                                  (14)

           (15)

           (16)

                (17)

                         畫(huà)出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，如右圖所示，在中間勻速直線運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，粒子的速度方向與豎直方向成30°角，根據(jù)幾何關(guān)系，可得

                                  (18)

                                          ₍₁₉₎

方案4：同時(shí)改變磁感應(yīng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)邊界（上圖中30⁰角改為角）

設(shè)磁感應(yīng)強(qiáng)度增大k倍。   則磁場(chǎng)II區(qū)域的上邊界下移y的距離

                                    (20)

式中：                       (21)

評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：本題18分

第(1)問(wèn)6分：（1）（4）式2分，(2)（3）式1分

第(2)問(wèn)6分：（5）（8）式2分，(6)（7）式1分

第(3)問(wèn)6分：只要能定量分析出兩種不同的方案（方案不限于參考答案的四種）則6分全給，第一種方案給2分，第二種方案4分。