Question

如圖所示，三角形ABC為一等腰直角三棱鏡的主截面．令一單色光線DE平行于AB面從空氣中自AC面射入，經(jīng)AB面反射后從BC面射出，F(xiàn)G為出射光線．
（1）試用幾何作圖法在圖中畫出在棱鏡內(nèi)的光路走向；
（2）證明：射到AB面上的光線一定發(fā)生全反射．

Answer 1

分析：（1）因為折射光線在AB面上發(fā)生全反射，根據(jù)反射定律，通過作出虛像的方法作出反射光線．
（2）結(jié)合數(shù)學幾何關(guān)系，通過折射定律證明出光線在AB面上的入射角的正弦大于折射率的倒數(shù)，即可得知射到AB面上的光線一定發(fā)生全反射．

解答：解：（1）設(shè)DE與AC的交點為O₁，F(xiàn)G與BC的交點為O₂，過O₁作關(guān)于AB的對稱點O₃，連接O₂O₃與AB的交點為DE的折射光線與AB的交點．如圖所示．
（2）設(shè)棱鏡的折射率為n，設(shè)∠MO₁P為r，∠MPO₁=α，設(shè)O₁P在AB面上的入射角為i′，對于△PO₁M，∠AMO₁=r+α．
即45°=r+α=r+（90°-i′），所以i′=45°+r
則sini′=sin（45°+r）=sin45°cosr+cos45°sinr．  ①
又n=

sini

sinr

=

sin45°

sinr

，則sinr=

2

2n

．  ②
cosr=

1-sin2r

=

2n2-1 2n2

③
將②③兩式代入①式，sini′=

2n2-1 +1

2n

由于n＞1，

2n2-1

+1＞2
則sini′＞

1

n

，射到AB面上的光線一定發(fā)生全反射．
答：（1）光路圖如圖所示．
（2）證明如上．

點評：本題考查了光的折射定律，以及全發(fā)射的知識，對數(shù)學能力要求較高，需加強訓練．