Question

2．如圖所示，在豎直平面內(nèi)固定有兩個(gè)很靠近的同心圓形軌道，外圓ABCD光滑，內(nèi)圓的上半部分B′C′D′粗糙，下半部分B′A′D′光滑．一質(zhì)量為m=0.2kg的小球從外軌道的最低點(diǎn)A處以初速度v₀向右運(yùn)動(dòng)，小球的直徑略小于兩圓的間距，小球運(yùn)動(dòng)的軌道半徑R=0.2m，取g=10m/s²．
（1）若要使小球始終緊貼著外圓做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，初速度v₀至少為多少？
（2）若v₀=3m/s，經(jīng)過一段時(shí)間后小球到達(dá)最高點(diǎn)，內(nèi)軌道對(duì)小球的支持力F_C=2N，則小球在這段時(shí)間內(nèi)克服摩擦力做的功是多少？
（3）若v₀=3.1m/s，經(jīng)過足夠長的時(shí)間后，小球經(jīng)過最低點(diǎn)A時(shí)速度v_A為多少？

Answer 1

分析 （1）若要使小球始終緊貼著外圓做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，在最高點(diǎn)時(shí)由重力提供向心力，由牛頓第二定律求最高點(diǎn)的臨界速度，再由動(dòng)能定理求初速度的最小值．
（2）由牛頓第二定律求出小球到達(dá)最高點(diǎn)的速度，再由動(dòng)能定理求克服摩擦力做的功．
（3）經(jīng)足夠長的時(shí)間后，小球在下半圓軌道內(nèi)做往復(fù)運(yùn)動(dòng)由動(dòng)能定理求．

解答 解：（1）設(shè)此情形下小球到達(dá)外軌道的最高點(diǎn)的最小速度為v_C，則由牛頓第二定律可得 mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
由動(dòng)能定理可知-2mgR=$\frac{1}{2}$mv²-$\frac{1}{2}$m${v}_{0}^{2}$
代入數(shù)據(jù)解得：v₀=$\sqrt{10}$m/s．
（2）設(shè)此時(shí)小球到達(dá)最高點(diǎn)的速度為v_C′，克服摩擦力做的功為W，則由牛頓第二定律可得 mg-F_C=m$\frac{{v}_{C}^{′2}}{R}$
由動(dòng)能定理可知-2mgR-W=$\frac{1}{2}$mv_C′²-$\frac{1}{2}$m${v}_{0}^{2}$
代入數(shù)據(jù)解得：W=0.1 J
（3）經(jīng)足夠長的時(shí)間后，小球在下半圓軌道內(nèi)做往復(fù)運(yùn)動(dòng)．設(shè)小球經(jīng)過最低點(diǎn)的速度為v_A，則由動(dòng)能定理可知
 mgR=$\frac{1}{2}$m${v}_{A}^{2}$
代入數(shù)據(jù)解得：v_A=2 m/s
答：
（1）若要使小球始終緊貼著外圓做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，初速度v₀至少為$\sqrt{10}$m/s．
（2）小球在這段時(shí)間內(nèi)克服摩擦力做的功是0.1J．
（3）若v₀=3.1m/s，經(jīng)過足夠長的時(shí)間后，小球經(jīng)過最低點(diǎn)A時(shí)速度v_A為2m/s．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了動(dòng)能定理、牛頓第二定律和機(jī)械能守恒定律，關(guān)鍵是理清運(yùn)動(dòng)過程，抓住臨界狀態(tài)，運(yùn)用合適的規(guī)律進(jìn)行求解．