Question

17．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，第Ⅰ象限存在勻強(qiáng)電場(chǎng)，第Ⅳ象限存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B．一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電的粒子從y軸正半軸上的M點(diǎn)以速度v₀垂直于y軸射入電場(chǎng)，經(jīng)x軸上的N點(diǎn)與x軸正方向成θ=60°角射入磁場(chǎng)，最后從y軸負(fù)半軸上的P點(diǎn)垂直于y軸射出磁場(chǎng)，如圖所示．不計(jì)粒子重力，求
（1）經(jīng)過(guò)N點(diǎn)的速度v；
（2）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑r；
（3）粒子從M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)的總時(shí)間t．

Answer 1

分析 （1）粒子垂直于電場(chǎng)進(jìn)入第一象限，做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)速度的分解求經(jīng)過(guò)N點(diǎn)的速度v．
（2）粒子由N到達(dá)P做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由洛倫茲力提供向心力，可由牛頓第二定律求出在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑r．
（3）根據(jù)幾何關(guān)系求出ON，由類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求出粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間．得到粒子在磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)動(dòng)的圓心角，再由圓周運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)求得磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間，從而得到總時(shí)間．

解答 解：（1）設(shè)粒子過(guò)N點(diǎn)時(shí)速度v，有 $\frac{v_0}{v}$=cosθ　　　　�、�
可得 v=2v₀              ②
（2）粒子在磁場(chǎng)中以O(shè)′為圓心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，半徑為O′N(xiāo)，有
qvB=$\frac{{m{v^2}}}{r}$ ③
得 r=$\frac{{2m{v_0}}}{qB}$ ④
（3）由幾何關(guān)系得
  ON=rsinθ             ⑤
粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t₁，有
   ON=v₀t₁             ⑥
可得 t₁=$\frac{{\sqrt{3}m}}{qB}$   ⑦
粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期
 T=$\frac{2πm}{qB}$  ⑧
設(shè)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t₂，有
 t₂=$\frac{π-θ}{2π}T$  ⑨
解得 t₂=$\frac{2πm}{3qB}$  ⑩
所以總時(shí)間為 t=t₁+t₂
解得 t=$\frac{{（3\sqrt{3}+2π）m}}{3qB}$
答：
（1）經(jīng)過(guò)N點(diǎn)的速度v是2v₀；
（2）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑r是$\frac{{2m{v_0}}}{qB}$；
（3）粒子從M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)的總時(shí)間t是$\frac{{（3\sqrt{3}+2π）m}}{3qB}$．

點(diǎn)評(píng) 粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)偏轉(zhuǎn)時(shí)，常運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的合成與分解研究．粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的圓心、半徑及運(yùn)動(dòng)時(shí)間的確定也是本題的一個(gè)考查重點(diǎn)，要正確畫(huà)出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡圖，能熟練運(yùn)用幾何知識(shí)解決物理問(wèn)題．