Question

1．有一團(tuán)半徑為R的均勻球狀物質(zhì)，在距其中心2R處有一質(zhì)量為m的小物體．該物質(zhì)團(tuán)中的每個(gè)質(zhì)點(diǎn)都有萬(wàn)有引力作用于小物體上，其總效果表現(xiàn)為物質(zhì)團(tuán)對(duì)小物體的引力．物質(zhì)團(tuán)中心與小物體的位置均固定，若物質(zhì)團(tuán)均勻地向四周膨脹，膨脹后的半徑為3R，此時(shí)物質(zhì)團(tuán)與小物體的引力的是膨脹前的（　�。�

• A． $\frac{8}{27}$
• B． $\frac{2}{3}$
• C． 1
• D． $\frac{27}{8}$

Answer 1

分析 1．球體與質(zhì)點(diǎn)之間的萬(wàn)有引力可以直接使用萬(wàn)有引力定律代入數(shù)據(jù)求解；
2．對(duì)應(yīng)均勻球體的內(nèi)部的點(diǎn)，各個(gè)點(diǎn)受到的萬(wàn)有引力等于以球心到該點(diǎn)的距離為半徑的內(nèi)部球產(chǎn)生的萬(wàn)有引力．由此求出物質(zhì)膨脹后質(zhì)點(diǎn)受到的萬(wàn)有引力．

解答 解：根據(jù)萬(wàn)有引力定律的使用條件可知，設(shè)物質(zhì)團(tuán)的質(zhì)量為M，開(kāi)始時(shí)物質(zhì)團(tuán)到質(zhì)點(diǎn)的距離為2R，則二者之間的萬(wàn)有引力大小為：
${F}_{1}=\frac{GMm}{（2R）^{2}}=\frac{GMm}{4{R}^{2}}$
設(shè)開(kāi)始時(shí)物質(zhì)團(tuán)的密度為ρ₁，當(dāng)物質(zhì)團(tuán)均勻地向四周膨脹到半徑為3R時(shí)的密度為ρ₂，由質(zhì)量關(guān)系得：$M={ρ}_{1}•\frac{4}{3}π{R}^{3}={ρ}_{2}•\frac{4}{3}π{（3R）}^{3}$
可知：${ρ}_{2}=\frac{1}{27}{ρ}_{1}$
當(dāng)物質(zhì)團(tuán)均勻地向四周膨脹到半徑為3R時(shí)，質(zhì)點(diǎn)在位置團(tuán)的內(nèi)部，所以質(zhì)點(diǎn)受到的物質(zhì)團(tuán)的萬(wàn)有引力的大小等于以球心到該點(diǎn)的距離為半徑的內(nèi)部球產(chǎn)生的萬(wàn)有引力，即：${F}_{2}=\frac{G•{ρ}_{2}•\frac{4}{3}π（2R）^{3}m}{（2R）^{2}}$=$\frac{Gm}{4{R}^{2}}•\frac{1}{27}{ρ}_{1}•\frac{4}{3}π{（2R）}^{3}$=$\frac{8M}{27}•\frac{Gm}{4{R}^{2}}$=$\frac{8}{27}{F}_{1}$
故選：A

點(diǎn)評(píng) 該題是對(duì)萬(wàn)有引力定律的公式使用簡(jiǎn)單的微元法的應(yīng)用，注意選取一個(gè)質(zhì)量元，要對(duì)其萬(wàn)有引力分解，然后求和．在解答的過(guò)程中要搞清楚引力產(chǎn)生的原因，萬(wàn)有引力公式的適用條件一定要清晰即可．